Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Близкие состояния, рассматриваекые в принципе стационарного действия, противоречат физическим возможностям (так как только исходное состояние находится в согласии с законами природы); однако, они удовлетворяют некоторым условиям, которые неявно вводятся вместе с выбором символов, служащих для математической формулировки проблемы. Смотря по тому, выполнены ли эти условия или нет, мы и различаем «принимаемые во внимание» состояния (в тексте пункт Ь) от состояний «не принимаемых во внимание» (в тексте с). Если бы мы не ввели такого различия, то каким образом можно было бы описать близкое вариирован-Stoe состояние с действием A -f- ЬА (М.:^0)? Хотя такое состояние и невозможно, но одно это обстоятельство еще не исключает его из рассмотрения, так как ни одно из рассматриваемых в принципе стационарного действия соседних состояний не является возможным. Это состояние не только невозможно, но его кроме того нельзя сформулировать с помощью математических выражений, достаточных для описания других невозможных состояний. Принцип наименьшего действия можно вероятно с полным правом сравнить с утверждением, что „если бы законы арифметики перестали быть верными, то 2 + 2 было бы больше или равно (ио наверное не меньше) 4*. Это утверждение могло бы иметь смысл только в том случае» если бы рассматриваемые „неправильные системы арифметики11 имели совершенно определенный тип неправильности. В наиболее же общем случае это утверждение очевидно не имеет смысла.
266
Релятивистская механика
61. ОБЩЕЕ СВОЙСТВО ИНВАРИАНТОВ.
Пусть К есть какая-либо инвариантная функция величин (/ и пх производных до любого порядка, так что
JК V^g ClT есть инвариант.
Бесконечно малые вариации 8 (A' У—д) можно представить
* -(ди \
з виде суммы члеш Pj СОдер ащих линейно величины о у о/ L
1
(д2д^ \
8^ — j и т. д. С помощью обычного метода интегрирования
по частям, употребляемого в вариационном исчислении, все эти выражения можно свести к членам с 8^ и полный дифференциалам.
Поэтому в случае вариаций, обращающихся в нуль на границе области, мы можем написать
о JК Y~gdz = JР'“ Sg,,., У~д dz, (61.1)
где выражения Pirf можно вычислить, если известен вид функции К. Полные дифференциалы дают интегралы по граничной поверхности, вариация которых равна нулю. Согласно нашему прежнему обозначению (60.43), мы имеем
(61.2)
-YJ,,,
He уменьшая общности, мы можем предположить, что р!"ыш-метрично относительно [А и V, так как всякое антисимметричное слагаемое выпало бы прн внутреннем умножении под знаком интеграла на Далее P^ должно быть тензором, так как Zgtis есть произвольный тензор.
Рассмотрим теперь случай, когда вариации происходят
только от преобразования координат. Тогда (61.1) обращается в нуль, притом не вследствие какого-либо свойства стационарности, а из-за инвариантности К. Ho так как 8^ теперь уже не являются произвольными независимыми переменными, то отсюда нельзя вывести заключение о том, что P^ равно нулю.
Произведем теперь бесконечно малое преобразование координат (которое на границе и вблизи ее должно сводиться к тожде-
61. Общее свойство инвариантов 267
ственному преобразованию), при котором точке, характеризуемой в старой системе координатами х, в новой системе соответствовали бы координаты хл-\-dx^. Преобразованный фундаментальный тензор д' , мы можем представить в виде -j- ^gгде Ьд^ также являются бесконечно малыми первого порядка. Связь
между д н д^ч определяется законом преобразования (23.22), причем следует принять во внимание, что д' нужно взять не
в точке но в соответствующей ей точке х^-^-Ъх^. Таким образом мы получим
,л ^ , , - 4d(*. + 8agd(a- +8*)
9гЛХ')= S.? K-Tar.)----------^------------------^-’
{A 't
пли, если принять во внимание, что д'а^ с точностью
до величин первого порядка равно д'а^ (Xj), или даже д^ (жо) и
не писать аргумента х в составляющих д, то, с точностью до ве-
личин второго порядка:
дхп дх,, дх, д(ох)
9v = К + Ч) + lgV К + 8*»)) д^ + g^ ~дх +
{А •* р. і
дх д(ох _1_ а —I .
' 9^ дх дх
¦> и-
Ho очевидно, что од^ (хв -j- 8а?в) с точностью до величины второго порядка равно ogaS (ж,). Далее по (22.3) мы имеем
дх, дх,, „
Ct о. В В
дх 9K дх'~9у’
Следовательно,
Если принять еще во внимание, что
д($х)
MaO = M*- + 3O + 8M**)+^ -&Г + 9„-Jx-
Sr., К + ы + ч -?-’
то мы получаем наконец для значение
-*/G
208 Релятивистская механика
В таком случае (61.1) дает
of К Y^dz = — Г (Sf^ (8®e) -f - (SarJ -L
Vv р.
-j- ) dz,
' дх 7 ’
a /
зїлн, после интегрирования по частям,
J IpfarY=Q +^fjnr=i)-»nr=i^\к*--
д I I
^v-I ^Xl4 rf’’
¦н, наконец, на основании (51.51)
2 Jp^xctV=Tgdz. (61.4)
Это выражение должно обращаться в нуль при всех произ-подьных вариациях Sxa, т. е. при всех деформациях координатної} сетки; следовательно мы получаем
(КІ-0, (61.5)
мто и доказывает следующую общую теорему:
Гамильтонова производная всякого фундаментальною инварианта есть тензор, расходимость которою равна нулю.
