Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим нам нужно теперь сопоставить оба понимания действия. Прежде всего, действие есть некоторая физическая величина, имеющая определенное численное значение, определяемое формулой (60.11) или (60.2), и очень важная вследствие своей инвариантности. С другой стороны, действие представляет собой некоторую математическую функцию независимых переменных, и ее функциональная форма, которая единственно и имеет значение, зависит от того, какое из двух выражений положено в основу. Нам придется специально рассматривать ее частные производные, а они, конечно, зависят от переменных, через которые выражено действие.
Гамильтонов метод вариации интеграла имеет для наших целей особое зпачение; сейчас мы разберем несколько примеров
60. Действие
263
ого применения. Мы считаем чрезвычайно неудачным то обстоятельство, что этот важный метод почти всегда употребляется в форме принципа стацигнаэного действия. Рассматривая вариацию интеграла для малых вариаций д или других переменных, мы получаем обобщенные производные, которые я назову гамильтоновыми производными. Разумеется, существуют и такие интегралы, у которых гамильтоновы производные равны нулю, так что соответствующий интеграл обладает свойством стационарности. Ho, как в обычном дифференциальном исчислении мы занимаемся не только проблемами максимумов и минимумов, по в некоторой мере интересуемся и производными, не обращающимися в нуль, так и гамильтоновы производные могут заслуживать нашего внимания даже в том случае, когда они обманывают наши ожидания и оказываются неравными нулю.
Рассмотрим теперь вариацию гравитационного действия в некоторой области, т. е. выражение
8-3.4 = 8 Jeyr^gdx
при сколь утодно малых вариациях 8обращающихся в нуль на границе области и вблизи не (так что их первые производные тоже обращаются в нуль). На основании (58.8) имеем
8 JGV—gdx = — 8 JL«ft+ 8 J
Ho так как L есть функция переменных и , то
J 81Л=/(^р V +If
отсюда, после интегрирования второго члена по частям, следует
J8ЬЛ= /(!? ~к ІИ v’*+/s:(ir vIi'-
В силу (58.6) подинтегральное выражение первого интеграла ( права равно — G ЪуР*, так что мы получаем соотношение
(60.3)
2 64
Релятивистская механика
Второй член может быть сразу проинтегрирован: в результате получится трехкратный интеграл по границе четырехмерной области, который обращается в нуль, так как по предположению все вариации на границе равны нулю. Следовательно,
8 JG У~д ch = JGi J (/' V -9 ) Л, (60.41;
или, принимая во внимание (58.91),
8 JGY^gdx= — J ^-I ^ Gj 3«^-|/“ dZt (60.42;
Коэффициент — I G^ — j Hw' G j я называю гамильтоновой производной от G по величинам g^ *) н обозначаю ее такі
jj|- = - ((Г - j ^ Gj = S, 000.43)
Мы видим из (60.42), что действие А может быть стационарно только в том случае, когда тензор энергии равен нулю, т. е-в пустом пространстве. Иначе говоря, действие стадионарно только тогда, когда его нет, и даже в этом случае не всегда.
Казалось бы, отсюда можно вывести заключение, что принцип стационарного действия, вообще говоря, неверен. Тем не менее, несколько видоизмененная формулировка принцип:* может иметь очень большое значение. В действительном мире пространство, занятое материей (электронами) необычайно мало по сравнению с пустыми областями; таким образом, принцип наименьшего действия хотя и не является универсальным, все же выражает чрезвычайно общую тенденцию — имеющую, правда, некоторые исключения **).
Наша теория не объясняет атомистического строения материи; ио повидимому, именно в стационарной вариации действия мы
’) Величину—^ Gli'_ L^vG j можно также назвать гамильтоновой
производной от плотности G, соответствующей величине G; это обозначение следует употреблять в тех случаях, когда плотность рассматривается, как нечто первичное, как, напрпиер, в некоторых исследованиях главы VII. (Д.)
**) Электромагнитные поля мы не причисляем к этим исключениям, потому что мы их вообще еще не рассматривали. Наоборот, действие материи полностью включено, так что выясняющаяся непригодность принципа в применении к материи является постоянным исключением.
60. Действае
265
пмеем тот путь, пдя по которому, можно было бы приблизиться к разрешению ЭТОЙ сложной проблемы, хотя мы до сих пор еще не знаем точной формулировки атомных законов. Можно подозревать, что в этих законах играет роль «действие», которое может меняться только прерывным образом.
Однако, это ни в коем случае не означает, что принцип наименьшего действия классической механики неверен. Он стано-гится неприменимым только тогда, когда мы хотим обобщить его на такие изменения состояний системы, которые до сих пор не рассматривались. Ясно, что, производя все более широкое обобщение, ыы должны притти к границам применимости принципа. Мы можем различать следующие состояния мира: а) возможные состояния, Ь) состояния, которые мы принимаем во внимание, хотя они и невозможны, и с) невозможные состояния, не принимаемые нами во внимание. Обобщение принципа заключается в переносе некоторых состояний из класса (с) в класс (Ь); однако для такого переноса должны быть определенные границы, потому что в противном случае ы пришли бы к утверждению, что неравенство ЬАгЬ. 0 не только не является каким-либо возможным уравнением, но даже не является и невозможным *)
