Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Нам может быть известна только часть существующих (в расширенном смысле слова) вещей, причем выбор обусловлен свойствами тех приборов, которые могут быть использованы для исследования природы.
Оба представления справедливы в соответствующих областях. В прежней части этой книги первое из них оказалось особенно полезным для освобождения физики от метафизических понятий. Ho если мы зададим вопрос, почему структура мира такова, что в ней нграюг роль именно величины и х и больше ничего, то мы не сможем при этом игнорировать тот факт, что структура мира не может обнаруживаться в таких проявлениях, для открытия которых ее существует никаких приборов. Поэтому совсем незачем вводить особые ограничения структуры мира с целью исключения всего, что не может быть установлено физикой, н после этого удивляться этим ограничениям. Ясно, что причиной этих ограничений является тогда не структура мира.
100. ДИНАМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ОБЩИХ СВОЙСТВ МИРОВЫХ ИНВАРИАНТОВ.
Применим теперь метод п. 61 к мировым инвариантам, зависящим от электромагаитных переменных. Пусть К есть некоторая скалярная плотность, зависящая от у F , и их производных до некоторого порядка, так что интеграл
JKd,,
взятый по любой области, есть инвариант.
F^4 можно было бы выразить через производные от х Однако, при настоящем исследовании мы этого не будем делать, так как
100. Динамич. следствия общих свойств мировых инвариайтов 425
нас главным образом интересует тот случай, когда К не зависит от самих у. , а только от их вихря, так что К содержит лашь
Sv.; И V
Как и в п. 61, интегрирование по частям при условии, что вариации равны нулю на границе области интегрирования, дает
8 Г Krft =/(P^v-IT 8F , + Q" Sxjrf.. (100.1)
При этом
= И*4 =--------------= (100.2)
и P1" — симметричный, a Hr' — антисимметричный тензор.
Тогда мы получим
( д (оу. ) д (ох ) \ д(д/. )
Hf' 8 F = HT —V-r--------------I = 2 H — , ,! •,
\ ox dx dx
\ Np [J. ' ')
что с точностью до полного дифференциала равно
9 д Hf' ,
дхч 0V
или, в силу (51.52),
— 2H;V Sxii.
Отсюда, наконец,
SfKrf'==/! P117 3 9r, + (2 к+Q!J) \} d T. (100.3)
Предположим теперь, что вариация 09^ и оу. происходит только от произвольных вариаций ах системы координат по правилам преобразования тензоров и векторов. Сам инвариант при :->; ом не меняется, так что его вариация равна нулю. Повторение вычисления, приведшего нас к (61.3), дает следующее выражение для изменения Vc при сравнении точек с одинаковыми координатами в исходной н новой системе:
д (оха) <?х
—-OX =X -------=7---------™— OiT .
Iі а дх дх ’
|Х а
Отеюда следует с точностью до полного дифференциала
д у.
. (Q^2 IF') Syv = (Q^4-2 НП -
'- CU
dx
Геометрия мира <?№?
Так как на основании (73.76) 0, то коэффициент при
ахв равен
{г. (Q^-I-2НП-*, Ql)-
Если использовать преобразование (61.3) вариации Zgто уравнение (100.3) при произвольных вариациях Ъха, равных нулю на границе области интегрирования, сводится к виду
O = / {2^.-^.(0- +2НП + *. Ч*-
Поэтому должно тождественно иметь место равенство
которое мы, деля на У—д и изменяя гемые значки, перепишем так
— (100-42) Рассмотрим сначала случай, когда К зависит только от и F , гак что Q'' = 0. Тогда получаем уравнение
= (100.43)
совершенно аналогичное уравнению, описывающему механическую силу электромагнитного поля (ср. п. 76)
Ж‘ = — h = —F г = —Ftl4F".
[Л і 'JL JAVw Г ^ 3 *
Мы уже выяснили прежде, что каждое выражение, о котором на основании физических представлений установлено, что оно представляет собой тензор энергии, должно являться гамильтоновой производной некоторого инварианта по дг„ и мы показали далее, что именно этим обстоятельством обусловлена справедли-ость закона сохранения. Теперь мы видим, что общая теория инвариантов позволяет предвидеть тако/се и поведение любого, выведенного таким образом, тензора по отношению к электромагнитному полю, так как из нее следует, что сохранение этого тензора при
Этом нарушается пондеромоторной силой типа F
Если мы отождествим P^ с материальным тензором энергии,
P =F .FT-
F
100. Дпнамич. следствия общих свойств мировых инвариантов
42 7
то должно быть отождествлено с чотырехмерным вектором
тока '), так что jv- = пг>} (100.44)
а это и есть общее уравнение (82.2). Отсюда без дальнейших ограничений следует закон сохранения электрического заряда (j* = O^.
Предшествующее исследование показывает, что антисимметричная часть важнейшего мирового тензора 11G обнаруживается на опыте посредством таких же проявлений, как и сила. Эта сила действует на некоторый вектор потока (так же, как электромагнитная сила действует на ток и заряд); а этот вектор ^потока представляет течение чего-то постоянно сохраняющегося. Таким образом, оказывается „озможеым предсказать существование электричества и качественную природу электрических явлений.
Если мы желаем взять для К определенную функцию, то необходимо иметь в виду, что равенство (100.42) есть тождество. Оно не дает никакой новой связи между g^t и v.;j. Если бы мы произвели все подстановки, то окончательный результат вероятно оказался бы совершенным пустяком и нисколько не соответствовал бы тем мощным общим методам, которые были применены. Главный интерес заключается не в самом тождестве, а в общем методе, который к нему приводит. Мы имели основания предполагать, что процесс гамильтонова дифференцирования действительно есть процесс создания воспринимаемого вокруг нас мира, так что в этом исследовании мы открываем законы физики, изучая те пути, которыми создавался физический мир. Тождества, выражающие эти законы, будучи отделены от соответствующего контекста, могут оказаться с математической точки зрения тривиальными; но наш способ их вывода дает ключ к объяснению того, почему они представляют выражение основных законов природы, установленных в нашем опыте **).
