Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Если представить в виде суммы Bv' -J- Cv двух независимых векторов Bv" и Cv", то, так как коэффициент при 2Kix4 а в (93.2) симметричен относительно (і и V, величина а Bv- О ^ху> будет инвариантна, откуда сразу вытекает, что K^i а есть тензор. (Я.)
93. Введение метрики «о.?
ный относительно [л и V. Обозначим его через 2 К д, так что
да
2А;Ч,, = ^-^Ч-Г^. '93.3;
Аналогично
дд
лк =Jjlb-T —г
(11, M (jX --(I, J «, |J
V
dg
2 К =~ — і —Г .
и- дх и-1,я и-3, і
и-
Складывая два последние выражения и вычитая (93.3), получим
1 (да да до \
К -1T-K —К -г (93.4)
V-3’v 1 vtMt а 2 \ дх ~ дх дх I к 1
\ V |А ® /
Если положить
S = K —К —К , ^93.5)
[AVj a |AV, в |аз, V va, ц.’ /
то (93.4) принимает вид
Г = [uv, а] -|- S ,
P-V, О / J і |AV, 5*
так что, если поднять значок а, мы получим, наконец,
— {EivJ а} “Ь V (93 • 6)
Если К имеет в частности вид а х , то
P-V, a «7jJ.Nl а?
Cl? G 3 о
Ь —О X О Y. Q X ,
[AV ° [AV і/'JA V & V Ii.'
так что (93.6) сводится к (86.2), причем
С = *{^°Ь
Таким образом, геометрия Вейля представляет частный случай нашей общей теории параллельного переноса. Его ограничение К а = эквивалентно ограничению, указанному - п. 84.
Формула Гв^ — {Jj-V, a} -j-S^ позволяет без труда переходить от различных результатов, полученных в метрической геометрии, к соответствующим результатам аффинной геометрии. Так например, мы знаем, что каждому тензору Л соответствует тензор А } определяемый соотношением дА
Ims=^T-{P3>eM.v —{V0>e) Av.‘ (93-7)
Геометрия мира
Отсюда следует, что ин-тензору соответствует ин-тензор
дА
(V.=-ef--С ^ iV ’ ^93 •71 >
а
так как разность правых сторон (93.7) и (93.71) очевидно есть тензор.
Однако, введение в- аффинную геометрию, в которой метрические понятия не играют никакой роли, некоторой вспомогательной метрики, нужной лишь для проведения доказательства наших, предположений и в конце концов подлежащей исключению, пред* ставляется весьма неудовлетворительным. Хотя такие доказательства конечно правильны, во они напоминают нам о понятиях* которые мы как раз хотели бы совершенно устранить.
Поэтому весьма желательно отметить, что операция аффинного (или ин-ковариаитного) дифференцирования может быть введена непосредственно, безотносительно к какой-либо вспомогательной т».ш иной метрике. В некотором векторном поле разность вектора Ж -{- dJt, относящегося к точке x^-\-dx и вектора At,
который в точке a; 4“ эквивалентен вектору A^i относящемуся к точке X i тоже есть вектор. Поэтому в силу (91.1) величина
dAt—!— Г '} Jtdx
I N9. V
тоже есть вектор и, следовательно
dJt
дх:^* (93.8)
есть тензор. Этот тензор мы назовем аффинной производной (Л1^ вектора Jt. Определение аффинных производных тензороа более высокого порядка легко получается, если принять во внимание следующие правила, обеспечивающие тензорный характер аффинных производных:
a) Аффиниая производная инварианта есть обычная его производная.
b) Аффинная производная произведения подчиняется обычному правилу дифференцирования произведения.
Из а) н Ь) следует, например, что
—= ел. ^c-).=(\,)лс + -V т. с'+
дх.
93. Введение метрики
407
Если подставить сюда для (Ви (G)ti выражения, построенные аналогично выражению (93.8) для то для (4F,)a полу-
чается выражение (93.71).
Далее легко получить, что
((^),).-(C^))„ = ’?;wil. (93.9)
чем и доказываются непосредственно тензорные свойства *I'f [ср. (34.3)]. ___
Если метрическая величина У —д не существует вовсе, то не может быть и постоянного соотношения между тензорами и соответствующими тензорными плотностями. Одиако, несмотря на это, и в аффинной геометрии существуют тензорные плотности, не зависящие нн от каких метрических понятий *). Эт0 обстоятельство связано с существованием тензорной плотности Е“^ = = Sot^8 (п. 49), представляющей собой число, очевидно не зависящее от положенной в основу метрики.
Можно построить также аффинные производные тензорных плотностей, например:
(А’”Х = ^ + с А" -ь г Aiis - Г Aii', (93.91)
а
что будет соответствовать «метрическим» ковариантный производным
= jT {s=>, JJ.} А” + {S3, V } Alts — {80, S } A“v(93.92)
J
He трудно убедиться, что между аффинными производными обобщенного тензора Риманна — Кристоффеля имеется циклическое соотношение
CBlJz + CBlJ, + (%Ja = О, (93.93)
аналогичное соотношению (52.6).
Тензор 2Hf 0, введенный в (93.3), можно теперь весьма просто интерпретировать геометрически: это есть аффинная производная от а .
*) Определение их при ЭТОМ очевидно должно быть таково, чтобы закон преобразования отличался от (23.3) лишь появлением на правой стороне формулы множителя
J— dpr/, V, -?', Q (JJ)
0 (X1, X2, X.,, .E4)
т
Геометрия мира
94. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИН-ТЕНЗОРОВ.
В формуле (92.41) мы выразили "Bsaii через величины не образующие тензора. С помощью (93.6) мы можем выразить теперь через тензоры gvt и S\ Если подставить значения
