Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
всего кристалла определяется выражением
H=^H(r^szi), (21.2)
г=1
где Н (r{, sZi) - гамильтониан уравнения (19.5) для г-го электрона.
Состояние движения всех N электронов кристалла должно описываться
волновой функцией, зависящей от 4N координат (три пространственные и одна
спиновая для каждой квазичастицы). Эта функция должна быть
антисимметричной относительно перестановок любой пары квазичастиц-
фермионов. Такую функцию можно построить, произведя антисимметризацию
произведений N функций %, характеризующих состояние движения каждой
квазичастицы. Однако в силу тождественности электронов такое описание
является излишне подробным.
В силу принципа Паули в каждом одноэлектронном состоянии (с учетом
спинового состояния) может находиться только один электрон, либо ничего.
Поэтому состояние всех iV электронов будет полностью определено, если мы
укажем, какие из возможных одноэлектропиых состояний заняты электронами.
Такое описание носит название: представление чисел заполнения для
фермыонов ([5], § 86).
В представлении чисел заполнения операторы всех физических величин
выражаются через операторы рождения а\ и уничтожения ах частиц в
состояниях ¦ф*. Нормированное состояние без частиц будем обозначать |0).
Оно определяется условием
сХд I 0) ~ 0 для всех К. (21.3)
§ 21] ВТОРИЧНОЙ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОНОВ 141
Состояние системы N электронов, занимающих по одному одноэлектронные
состояния Яь Я2, Яу, описывается функцией
atat, ... atN |0). (21.4)
Чтобы эта функция была антисимметричной относительно перестановки любой
пары электронов и оператор числа электронов в состоянии i|\ имел вид
Nx = atak, (21.5)
необходимо и достаточно, чтобы операторы а^, at удовлетворяли
перестановочным соотношениям
{а,., сф} = би'. "v} = 0t (21.6)
где введено сокращенное обозначение
{a, b) s=ab-\-ba.
В основном состоянии (абсолютная температура равна нулю) электроны
занимают N одноэлектронных состояний г|\, обладающих энергиями Ek^EF, все
состояния с энергией E\^>EF неза-полнены. Граничная энергия EF называется
энергией Ферми. Перенумеруем состояния с энергиями EX^EF в порядке
возрастания энергии индексами Я,-. Тогда основному состоянию будет
соответствовать энергия
(21j)
i = i
и функция
|фо) = ах1а^2 ... atN\0). (21.8)
Возбужденные состояния системы соответствуют переходу электрона из
заполненного состояния Я,- в свободное состояние Я7-. Для такого перехода
надо системе сообщить энергию
Е (Я;) - Е (Я,) > 0. (21.9)
После перехода система окажется в состоянии
"яДг|фо>. (21.10)
В системе с N электронами операторы числа частиц (21.5) должны
удовлетворять условию
N = %ataK. (21.11)
к
Для перехода от координатного представления к представлению чисел
заполнения в системе электронов вводятся операторные функции
Т*Г(6) = 2"А(?). l = r,s" (21.12)
142 ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ состояния в КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. V
где % (?) - ортонормированная система одноэлектронных функ-
ций (21.1), а.х - ферми-операторы, удовлетворяющие перестано-. вочным
соотношениям (21.6). Тогда операторы, изображаемые в координатном
представлении суммой операторов, относящихся к каждому электрону, т. е.
<МЕ)^ (Ъ),
i=i
преобразуются к представлению чисел заполнения с помощью выражения
(?) F {%) Ч (?) dg = (21-13)
где
F& = №(r)F(l)yv(r)dZ, (21.14)
здесь и в дальнейшем знак изображает интегрирование
по пространственным координатам электрона и суммирование по спиновым
переменным. В частном случае гамильтониан одноэлектронного приближения
(21.2) принимает вид
Я = ? (21.15)
х
Операторы, изображаемые в координатном представлении суммой операторов,
относящихся к двум электронам, т. е.
/^ = 2^ (?,,?;), (21.16)
I, /
преобразуются к представлению чисел заполнения по правилу F2 = (I)
(?') Л *> (?, |') ? (?') Ч (Е) dl di' =
= 2av, (21.17)
где
F&iKv = ^ г|>* (?) (Г) F (I, ?') ^ (?') (?). (21.18)
Операторы типа (21.16) изображают, -в частности, парные
взаимодействия между электронами. Следовательно, рассмотренное выше
преобразование к представлению чисел заполнения можно применить и к
электронам в кристалле. Пусть в координатном представлении оператор
энергии системы электронов имеет вид
N
я=2 (21Л9)
*=1 >. /
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОНОВ
143
Ек и % (?)- собственные значения и собственные функции оператора Н (Ё).
Тогда в представлении чисел заполнения оператор
(21.19) преобразуется к виду
Н = J Е}аЫ. + ' ^ (21 -2°)
х
где
= 5 чрЗЕ (?) (go Wr (t gi) (El) t|v (?) dl 1 dl. (21.21)
Если оператор остаточного взаимодействия WV в координатном представлении
зависит только от пространственных координат электронов, то матричный
элемент (21.21) отличен от нуля лишь в тех случаях, когда одинаковы спины
состояний Я и Я', Ях и Я[ или Я и Я(, Я1 и Я'.
21.1. Дырочное представление. Состояние слабовозбужденных систем,
состоящих из ./V квазичастиц-электронов, мало отличается от основного
состояния Ф0. При возбуждении изменение основного состояния сводится к
освобождению некоторых уровней с энергией Еуг^Ер и заполнению
