Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
значению "(к) соответствуют все функции ф* = = y=.eikr, у которых \k\-k.
Матричные элементы оператора
возмущения W (г) связывают только состояния, различающиеся на вектор
обратной решетки. Действительно, *)
1 [* ( kr = k + g, г... = 1 j exp [i (ft' - ft) r] W (r) *r _ ( 0; k,
ф k+J
где g - вектор обратной решетки. Условие k' - k + g при |Л'| - = | k |
эквивалентно условию
kg = Yg\
*.) Доказательство. Если W (r) - W (и + r), то exp(ikr)W (г) d3r exp
[ik (и + р)] W (я + р) d3р =
П V
( N \ exp (ikp) W (p) d3p, k = g, = 2j exp J exP w (P) d?9 = \ v " 0
I 0, k Ф g.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ состояния
135
которое выполняется для всех векторов k, лежащих на краях зон Бриллюэна.
В одномерном случае вырождение становится двукратным и отличными от нуля
будут только матричные элементы
а/2
= 1 jj W{x)exv(i^)dx
-а/2
при k = Y g = ^, п = ± 1, ±2, ... Поэтому для каждого из этих значений k
решение уравнения
[-5В+ГЙ-ФМ = °
можно искать в виде
v
= "Фа + *. <Р* = :т=ехр (/?*).
V а
Тогда получим систему двух уравнений
[E-t(k)]a+Web = 0, =
W*ga + [E-t(k)]b = О, из которых следует два решения
Ei = < (k) - У\ Wg |2 для функции ipi (х) = Л/ - sin kx,
t_____ А (20.6)
Ег = < (k) + yjWgF Для функции (х) = у - cos kx.
Таким образом, на границах зон Бриллюэна наблюдаются разрывы в
энергетическом спектре, величина которых равна 2]/1 №г|а. Энергии (20.6)
определены для всех значении волновых векторов k (расширенная зонная
схема на рис. 25, а). Используя свойство периодичности энергии и свойство
эквивалентности волновых векторов, отличающихся на векторы g обратной
решетки, можно преобразовать энергию Е (к) в многозначную функцию Еа (k)
(рис. 25, б) приведенных волновых векторов k. В этом случае
энергетические состояния распадаются на квазинепрерывные полосы энергии.
Граничным состояниям в этих полосах соответствуют стоячие волны. При
удалении от границы зоны Бриллюэна роль возмущения становится
незначительной.
В трехмерном случае для каждого выделенного направления k в спектре
энергии будут также разрывы в энергетическом спектре для значений k,
лежащих на границе зоны Бриллюэна.
В большинстве металлов, состоящих из атомов с заполненными внутренними
оболочками и не полностью заполненными
136
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
оболочками ns и пр, в проводимости участвуют s- и р-состояния. В этом
случае поверхность Ферми качественно мало отличается от поверхности
Ферми, рассчитанной в модели почти свободных электронов.
Более строгие расчеты зонной структуры таких металлов и полуметаллов в
приближении почти свободных электронов основаны на методе
псевдопотенциала, разработанном Хейне и др. (см. [58]). В этом методе
взаимодействие электрона проводимости с остовом атома описывается
эффективным псевдопотенциалом.
-2я/а -л/а О jt/a 2я/а -Л/а О я/а
а) б)
Рис. 25. Зависимость одноэлектронных энергий от волнового вектора.
а) Расширенная зонная схема, б) энергия как функции приведенных волновых
векторов.
Псевдопотенциал подбирается так, чтобы его собственные функции и энергии
были близки к функциям и энергиям валентного электрона атома.
20.3. Приближение сильно связанных электронов. В благородных и переходных
металлах, в металлах редкоземельных элементов и актинидов атомы содержат
не полностью заполненные d- и /-оболочки, электроны которых частично
участвуют в проводимости. В этих случаях модель почти свободных
электронов совершенно непригодна. Для исследования зонной структуры таких
металлов разработаны различные приближения. Здесь мы рассмотрим
простейший метод, основанный на приближении сильно связанных электронов.
Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с ионом,
находящимся в узле п, описывается функцией W(r - п), и мы знаем решение
уравнения Шредингера
[-? V2 + W (г - п) - €"¦] фа (> - /*)== О, (20.7)
где л -векторы решетки.
§ 20] МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ состояний 137
Предположение о сильной связи соответствует случаю, когда в первом
приближении можно пренебречь перекрыванием волновых функций уравнения
(20.7), относящихся к разным узлам решетки. Сильная связь электрона может
осуществляться для основного и первых возбужденных состояний (20.7) и
математически выражается условием
5 (/' - л) Фр (л* - л') c/v 0 при пфп'. (20.8)
В силу условия трансляционной инвариантности функции <ра(г)
обладают периодом решетки
Фа И = Фа (г + п). (20.9)
В кристалле, содержащем по одному иону в элементарной ячейке, электрон
имеет потенциальную энергию
W(r)= W(r + m) = ^]w(r + n), (20.10)
П
поэтому гамильтониан электрона в кристалле
H = -~V*+W(r). (20.11)
Если (а - невырожденный уровень энергии уравнения (20.7),
то волновой функции <рге (г) в кристалле будет соответствовать в первом
приближении N волновых блоховских функций
{r) = ~^e?kn^a(r-n), (20.12)
П
различающихся N значениями волновых векторов, лежащих в первой зоне
Бриллюэна (N - число элементарных ячеек в кристалле). Волновой функции
