Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ж = (ехр-^-+ l)_1<l, (25.8)
или
exp-^li>1-
Следовательно, при отсутствии вырождения функция распределения (25.8)
переходит в функцию распределения Максвелла - Больцмана
/(0=ех р-^. (25.9)
Подставив значение (25.9) в (25.3), получаем
Ne = Aee^, Ae^gV{0f'\ (25.10)
156
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ [ГЛ. V
Из (25.10) следует, что при отсутствии вырождения химический потенциал
электронов, отсчитываемый от дна зоны проводимости, определяется
выражением
г 4 (чР\ 3/2 1
*'-в|п1з7гЫ J<0- (25Л1)
Отрицательное значение химического потенциала электронов при отсутствии
вырождения можно понять из простых качественных соображений. Согласно
(25.1) при 0=^0 химический потенциал равен значению (, при котором / (с)
= 1/2. При отсутствии вырождения (F значение /(f)-^l для всех
положительных (. Если формально продолжить кривую /(() в' область
отрицательных значений t (рис. 31), то равенство /(f) = 1/2
Рис. 31. Распределение электронов по энергетическим состояниям.
будет соответствовать отрицательному t и, следовательно, отрицательному
(1.
Если (g - разность энергии между дном зоны проводимости
и потолком валентной зоны, то энергия дырок fh, отсчитывае-
мая от дна зоны проводимости, будет отрицательна:
ti2b2
= = (25-12)
где т* > 0 - эффективная масса дырки. Функция распределения дырок по
энергетическим состояниям валентной зоны, различаемым значениями к,
определяется выражением
h (*,,(*)) = 1 -! ("А (k)) = (l + ехр-?=^)П. (25.13)
При отсутствии вырождения
( ц 4- A -f(b \ fh(4(k)) = exр(^-Л1гГА]<1. (25.14)
Плотность состояний дырок в валентной зоне так же, как плотность
состояний (24.2) электронов в зоне проводимости,
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
157
определяется выражением
(25.15)
Следовательно, полное число дырок в валентной зоне
(25.16)
В полупроводниках с собственной проводимостью (т. е. без примесей)
условие электронейтральности приводит к требованию, чтобы число
электронов в зоне проводимости равнялось числу дырок в валентной зоне.
Приравнивая (25.10) и (25.16), находим химический потенциал электронов и
дырок в таком полупроводнике:
Второе слагаемое в (25.17) значительно меньше первого (при не очень
высоких температурах), поэтому можно положить
Итак, химический потенциал электронов проводимости и дырок в валентной
зоне чистого полупроводника лежит вблизи центра области запрещенных
энергий между этими зонами.
В некоторых книгах по теории твердого тела (например, в [57, 58]) уровень
химического потенциала называют уровнем Ферми. Это название является
весьма неудачным. Обычно (см. § 22) уровнем Ферми называют реальное
одноэлектронное состояние, которым заканчивается заполнение
энергетических состояний при абсолютном нуле. В чистом полупроводнике
уровень Ферми совпадает с потолком валентной зоны. Химический потенциал
не соответствует реальному уровню - это только параметр функций
распределения Ферми (25.1) и (25.14). В системе электронов металла он
совпадает с уровнем Ферми только при абсолютном пуле. А при высоких
температурах он имеет отрицательное значение (25.11), т. е. расположен в
области запрещенных значений энергии для этих электронов. В чистых
полупроводниках химический потенциал при малых температурах проходит
вблизи центра запрещенных энергий между валентной зоной и зоной
проводимости.
Неудачное название "уровень Ферми" вместо химического потенциала иногда
приводит к неправильной физической интер-
(25.17)
И
(25.18)
158
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
претации. Например, в книге [57] (гл. 12, § 4, стр. 323) сказано об
уровне Ферми, который там отождествлен с уровнем химического потенциала:
"Это эталонный уровень, с которого происходит возбуждение электронов и
дырок". В действительности на уровне химического потенциала нет ни
электронов, ни дырок. Квантовые переходы в полупроводниках происходят
между реальными одноэлектронными состояниями, которые образуют валентную
зону и зону проводимости.
Подставив (25.7) в (25.10) и (25.16), находим число электронов и дырок в
соответствующих зонах
Определим положение химического потенциала в полупроводнике, содержащем в
полосе запрещенных состояний дискретные уровни примесных атомов.
Предположим, что примесные атомы образуют в кристалле донорные уровни
энергии расположенные под зоной проводимости на небольшом расстоянии <
<g. В таком полупроводнике электроны в зоне проводимости появляются по
двум причинам: за счет перебросов с донорных уровней и за счет перебросов
из валентной зоны.
Из условия электронейтральности кристалла число электронов Ne в зоне
проводимости должно равняться числу дырок Nd в валентной зоне плюс число
nd однократно ионизованных примесных атомов, т. е.
Если N'a - число электронов на примесных атомах при абсолютном нуле,
тогда при температуре 0 согласно (25.1) на них останется электронов
Следовательно, число перешедших в зону проводимости электронов равно
Подставив (25.10), (25.16) и (25.21) в (25.20), получим трансцендентное
