Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
времени), обусловленных внешним возмущением.
Интересуясь только установившимися процессами, ниже мы будем пользоваться
вторым методом.
Положим
р(0 = р(0) + р(1)(0 + -.-. тогда уравнение (41.2) заменится системой
уравнений
1/г^ = ЯоР<°>-р<°>Яо, (41.9)
ih^- = Я1Р<°> - р<о"Я1 + Я0р('> - р<"Я0, (41.10)
298 ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. VIII
Уравнение (41.10) называется линеаризованным уравнением Лиу-вилля.
Пусть | s) - полная ортонормированная система функций оператора Н0, т. е.
(tf0-O|s> = 0, <s1|s) = 6SlS. (41.11)
Тогда имеют место равенства
№ = fo(<s)Ks, Н%=>< A,s. (41.12)
При одноэлектронной формулировке задачи принцип Паули, обусловленный
требованием антисимметрии волновых функций, можно учесть, используя в
качестве элементов равновесной матрицы плотности функции распределения
Ферми /0(fs) =
= j^exp q ^-lj , определяющие вероятность обнаружения
электрона в состоянии |s) с энергией ? -химический потен-
циал, зависящий от концентрации частиц.
При учете (41.12) получаем уравнение (41.10) в матричном виде
^|р^(о=[/о(д-/о(^)]Щ'(о+^,-ор^(о. (41.13)
При временной, зависимости (41.8)" оператора взаимодействия решение этого
уравнения можно искать в виде
(0 = Psis (0) ехр [- г (со +г'г|Н]. (41.14)
Тогда
р?(о=е°ехр[-*'("+щ)п. (41.15)
Среднее значение любого оператора Ф теперь определяется в линейном
приближении выражением
(Ф) = Sp (ро *)+2- ?°ехР + "1)^1- (41.16)
SiS 1
Сравнивая это значение с определением обобщенной восприимчивости х(<й)
кристалла по отношению к внешнему полю (41.6а)
(ф) = (ф)0 + х(со)?0ехр [- / (со + t'n) ^], (41.17)
находим явное выражение для обобщенной восприимчивости
• (41Л8)
su s
Используя тождество
/о (<Sl ) - /о Ы = /о ("*) [ 1 ~ /о (",)] - /о (О [ 1 - /о ("л,
§ 42] СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ 299
можно преобразовать (41.18) к виду х(<о) = - 2 МОП-Ыч)]х
________I_____________________1
I i ~fs - ha~itir] ' - (s + fao + ihr\ )'
Наконец, учитывая тождество Im (x + гг))-1 = - лд (х) (г) 0),
получим
Imx(co) = - л Yi /о (^)П -M"s,)]x
Si, S
X {BSlS<l>SSl6 (<Sl - <s - Йсо) - 5SSlO>SlS6 (<Sl - <s + йсо)}.
(41.19)
Это равенство называется формулой Кубо - Гринвуда [170].
§ 42. Собственное поглощение фотонов в полупроводниках
Поглощение света при переходе электрона из валентной зоны в зону
проводимости полупроводника называют собственным меж-зонным поглощением.
При поглощении фотона в кристалле образуется пара квазичастиц -электрон в
зоне проводимости и дырка в валентной зоне. Для истинного поглощения
света необходима диссипативная подсистема, которая изменяла бы состояние
электрона и дырки так, чтобы они не могли сразу же аннигилировать с
испусканием поглощенного фотона. В кристалле такой подсистемой являются
фононы колебаний решетки кристалла. Они обеспечивают процессы релаксации
с некоторым эффектив-
ным временем т.
Поглощенная, световая энергия монохроматической волны
? (со) = е?0 ехр [*' (Qr- со/)], (42.1)
где е - единичный вектор поляризации, Q - волновой вектор света в
кристалле, выделяется в кристалле в риде джоулева тепла. В изотропном
немагнитном кристалле с комплексной диэлектрической проницаемостью n
е (со) = б! + ie2 (42.2)
в единицу времени в единице объема выделяется энергия (см. [40], § 61)
С/ = ^|?|2. (42.3)
Диэлектрическая проницаемость связана с проводимостью а кристалла
соотношением
ог=12 <42-4)
300 /'ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. VIII
поэтому (42.3) можно преобразовать также к виду
U = у j Е |2 Re а. (42.5)
Введем коэффициент истинного поглощения света, имеющий размерность
обратного времени,
К (со) = = 4я Re а (со) = сое2 (со). (42.6)
Модуль волнового вектора Q в кристалле определяется соотношением
|Q|s^(n+ &) = -?-}/7й. (42-7)
где с -скорость света в вакууме;
п = j/y [Vе| + el + еа], * = \\VЧ + 4 ~ ei], (42.8)
соответственно, безразмерные показатель преломления и коэффициент
поглощения. Поскольку е2 = 2/ж, то согласно (42.6)
К (со) = 2/гжо. f (42.9)
Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) при прохождении световой
волны (42.1) через кристалл изменяется по закону
S(z) = S (0) ехр [ -' (42Л0)
\ с I
При условии e2<^ei и выражение (42.10) преобразуется
к простому виду
5(г) = 5(0)ехр(-^г). (42.10а)
В экспериментальных работах обычно измеряется уменьшение потока энергии
при прохождении света через кристалл. При этом согласно (42.10)
определяется отношение е2/^еь которое при условии У В! р^п совпадает с
х(со). Для определения истинного поглощения света надо согласно (42.6)
знать е2 = 2т., т. е. необходимо еще независимое определение дисперсии
показателя преломления. Это обстоятельство и необходимость учета
отражения света от границ кристалла затрудняет количественное сравнение
результатов теории с экспериментом.
Приведенные выше формулы остаются справедливыми и в случае анизотропных
кристаллов, если векторы е и Q направлены вдоль главных направлений
тензора диэлектрической проницаемости е (со).
СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
