Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
312
ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. VIII
Блоха, учитывающих средний периодический потенциал кристалла. Это
приближение основано на допущении, что при поглощении света остаются
неизменными все состояния, занятые другими электронами. В
действительности же в результате перехода одного электрона из валентной
зоны в зону проводимости должны изменяться и состояния всех остальных
электронов валентной зоны. Формально такое изменение можно учесть, введя
эффективное взаимодействие между электроном и дыркой, образующейся при
освобождении одного из валентных состояний. Это взаимодействие является
проявлением многочастичности всех электронных состояний кристалла.
В результате взаимодействия электрона и дырки в кристалле возможно
появление особых бестоковых связанных состояний электрона и дырки,
получивших название экситонов Ванье - Мотта [192- 195]. В диэлектриках и
полупроводниках с большой диэлектрической проницаемостью основные
особенности таких экситонов могут быть найдены на основе простейшей
модели. В этой модели электрон и дырка рассматриваются как квазичастицы с
противоположными единичными зарядами с потенциальной энергией
взаимодействия - е2/гг, где е - низкочастотная диэлектрическая
проницаемость кристалла, и эффективными массами, соответствующими для
электрона (т*) дну зоны проводимости и для дырки (т%) - потолку валентной
зоны.
В простейшем случае параболических зон с экстремумами, расположенными при
k = 0, энергии электронов проводимости и дырок определяются формулами
Ес(к) = Ее+Щ, Ev(*)=-~. . .(43.1)
Вводя взаимодействие между электроном и дыркой в виде
V (г) - - е2/ег, г = |гв-г*| (43.2)
и переходя к системе центра инерции, получим уравнение, определяющее
энергию электронно-дырочной пары
(~ 2рдг*~~ ёг) фя/т ^ = \Еп W ~ Eg ~ Цт* +щ\ф',/от' ^43,3^
где
т*т%
- |а = ¦ ' % (43.3а)
- приведенная масса электрона и дырки. В этом случае энергия может
быть представлена в виде суммы трех слагаемых
Еа (*) = 2 ~ 2hVn2 + (43.4)
где Eg - энергия щели между дном зоны проводимости и потолком
валентной зоны; Ш - квазиимпульс. Первое слагаемое
ЭКСИТОНЫ ВАНЬЕ - МОТТА
313
в (43.4) соответствует кинетической энергии свободного совместного
движения электрона и дырки. При к = 0 второе слагаемое соответствует
дискретным (п - 1, 2, ...) возбужденным состояниям водородоподобного
атома (рис. 56) с приведенной массой [л, находящегося в непрерывной среде
с диэлектрической проницаемостью
е. Состояние с я=1 является наинизшим возбужденным состоянием.
Поскольку волновой вектор к пробегает все N значений первой зоны
Бриллюэна, то каждому дискретному энергетическому уровню, определяемому
вторым слагаемым в
(43.4), соответствует энергетическая зона. Эти зоны отвечают
состояниям всего кристалла как целого и их не следует путать с
энергетическими зонами одноэлектронных состояний, которые рассматривались
в предыдущих параграфах этой главы.
Радиус экситона с квантовым числом п выражается формулой
т~) п-ет / л г?\
Rn --- (43.5)
Г
где т - масса свободного электрона,
ав~~^д,Ъ-Ш& см - боровский
радиус атома водорода.
В кристалле германия при значениях |л"^0,2т и ег^16 радиус первого
состояния Ri^80aB значительно превышает постоянную решетки, что
оправдывает макроскопическое описание взаимодеист-
вия между электроном и дыркой по закону Кулона -е2/ег, где
е -низкочастотная диэлектрическая проницаемость. Энергии
(43.4) соответствует волновая функция
\k\ п1пг) = ~е^ц>п1т(г), (43.6)
m?re + mhrh
где р =----^г-7-*--------координата центра масс электрона и дырки;
те "ЪдаЛ
фяim(r) = Ylm((r), ф)fni(r), (43.6а)
со
здесь fni(r) - нормированная условием J ff,i (г) г2 dr= 1 радиаль-
0
ная волновая функция (см. [5], стр. 179) частицы с приведенной массой
(43.3а) и эффективным зарядом е/У~Yim($, ф) - нормированная сферическая
функция.
Рис. 56. Энергетические уровни экситона Ванье-Мотта.
314 ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. VIII
При уточнении расчетов экситонных состояний необходимо учитывать
тензорный характер эффективных масс электрона и дырки и диэлектрической
проницаемости. Естественно, что взаимодействие между электроном и дыркой
описывается оператором
- е2/ел только на расстояниях, значительно превышающих постоянную
решетку. Вопросу о правильном выборе эффективного потенциала
взаимодействия посвящено много работ (см., например, [196, 197]). Строго
говоря, значение е в выражении - е2/ел должно зависеть от г. При малых г
надо пользоваться высокочастотной диэлектрической проницаемостью, при
больших г - статической диэлектрической проницаемостью (см. § 52).
Основные усилия теоретиков при исследовании экситонов Ванье -Мотта
направлялись на вычисление внутренних возбужденных состояний экситонов с
учетом сложной структуры валентной зоны и зоны проводимости (наличие
вырождения, анизотропия, наличие экстремумов зон при и т. д.)
(см., например,
работы [194, 198]). Обзор основных методов вычисления этих состояний
