Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
В случае гравитации можно записать выражение, подобное (35). Предметом измерения являются теперь
компоненты символов Кристоффеля • Электрической напряженности Ex аналогичен символ Пред-
полагая, что пробное тело движется по геодезической, можно совершенно аналогично (35) вывести величину
неопределенности ДЛЯ I 44 } •
Квантование общей теории относительности
465
где m — гравитационная масса пробного тела. Чтобы измерить гравитационное поле в точке, требуется снова сделать исчезающе малыми сразу три величины —
малое значение, масса m должна быть очень велика. Большая масса порождает и большое поле, но теперь его влияние не может быть скомпенсировано, как в случае электромагнетизма. Дело в том, что, во-первых, не существует приспособлений (скажем, пружин), которые не создавали бы гравитационного поля; во-вторых, нет никакого способа определить величину силы, необходимой в этом случае для компенсации; в-третьих, при больших значениях массы пробного тела оно движется уже не по геодезической в том поле, которое нам нужно измерить, а по геодезической в результирующем поле; наконец, в-четвертых, оба поля — внешнее и собственное— неаддитивны ввиду нелинейности теории, так что уравнение геодезической уже непригодно для целей измерения I ^pv I.
В обоих рассмотренных нами случаях мы сталкиваемся с новой ситуацией, не имеющей места в обычных лоренц-инвариантных теориях. Чтобы измерить гравитационное поле в точке, нам обязательно приходится иметь дело с весьма тяжелыми пробными телами, с тем чтобы устранить влияние принципа неопределенности. Ho при использовании в качестве измерительных приборов тяжелых тел мы неконтролируемым образом искажаем результаты наблюдения.
Еще одна трудность связана с постановкой задачи начальных значений. Начальные значения задаются на пространственноподобных поверхностях. Ho для нахождения таких поверхностей нужно уже знать геометрию пространства — времени. В классическом случае можно устранить эту трудность, выбирая некоторую поверхность, определенную условием, наложенным на координаты, скажем / = 0, так что эта поверхность и в самом деле будет пространственноподобной. Например, можно задать grs в такой системе координат, где go»=—боц, так что на поверхности /=O будет выполняться следую-
символ
должен иметь
30 Зак. 1740
466
Глава 14
щее соотношение:
ds2 = grs dxr dx? — dt2 > 0.
Лишнеровиц и Фурэ-Брюа показали, что в ходе эволюции системы соседняя поверхность t=dt будет также пространственноподобной.
Переходя к квантовому варианту теории, мы сталкиваемся с той же проблемой. Начальное состояние определяется через функцию от grs- Мы можем использовать систему координат, в которой ?оц =—боц, и выбрать начальную поверхность, задавая ее уравнением /=0. Затем следует выбрать систему гравитационных полей, такую, что их собственным состояниям отвечает ds2>0. Это сделать просто, хотя тем самым на наши функции начального состояния будут накладываться довольно сложные ограничения. Теперь спрашивается: можно ли утверждать, что выбранные вначале пространственноподобными наши гиперповерхности останутся пространственноподобными и в будущем для всех членов системы? В классическом случае заданному набору grs можно сопоставить набор канонических импульсов prs, удовлетворяющих уравнениям связей, которые приводят к тому, что поверхность t + dt будет пространственноподобной. В квантовом же случае может оказаться, что первоначально пространственноподобная поверхность станет затем временноподобной или изотропной. Это объясняется тем, что, как уже упоминалось, невозможно найти такие квантовые выражения для связей (20), чтобы перестановочные соотношения для любой пары связей давали линейную комбинацию связей, причем коэффициенты располагались слева от этих связей. Поскольку гамильтониан сам является линейной комбинацией связей, они не будут обязательно равны нулю в случае физических состояний \|), для которых выполняются уравнения (39) и (40). Поэтому канонические импульсы prs могут испытывать флуктуации, не удовлетворяющие уравнениям связей в будущем, и тогда гиперповерхности не будут пространственноподобными.
Таким образом, с квантованием тяготения связаны серьезные проблемы как формального, так и концеп*
Квантование общей теории относительности 467
туального характера. Во всех наших примерах обнаруживаются противоречия между требованиями квантовой механики, которые нам известны, и требованиями общей теории относительности. Возможно, конечно, что в последовательной квантовой гравидинамике подобные трудности будут каким-то образом устранены. Тогда можно было бы сказать, что процесс измерения имеет смысл рассматривать лишь на основе последовательной теории. Ho ведь такой полной теории пока еще нет. Будем надеяться, что анализ разных сторон проблемы, вроде проведенного нами, даже при использовании грубых прикидочных методов поможет найти пути построения такой теории или хотя бы выяснить, стоит ли вообще пытаться ее построить.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bergmann P. G., Phys. Rev., 75, 680 (1949).
