Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
В этих новых переменных плотность гамильтониана несколько упростилась:
m=(g°°r1/2 $eL -н g*rw. (19)
446
Глава 14
Здесь L и &€r — определенные функции grs, pra и их производных по пространственным координатам (латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3) *).
Так как уравнение р°^ должно выполняться все время, то величина р0^ должна быть всегда равна нулю. Она вычисляется путем подстановки в скобки Пуассона и гамильтониана Я. Поскольку ни <ЖЬ, низ%?г не зависят от goiii и P0^t вычисление коммутатора для Ж и приводит к вторичным связям вида
Sfffi = Ж = 0. (20)
Связь, наложенная на известна как продольная связь, тогда как связь, наложенная на Шь, называется гамильтоновой. Эти уравнения связей представляют собой основной источник трудностей при построении квантового варианта общей теории относительности. Существование этих связей является прямым следствием инвариантности теории относительно произвольных преобразований координат. Поэтому трудности, связанные с гамильтоновой формулировкой теории, по всей видимости, должны так или иначе появляться и при любой другой ее формулировке. В данной формулировке их содержание состоит в том, что канонические переменные grs и PrsUe являются взаимно независимыми. В то же время при гамильтоновом формализме квантования существенно, чтобы канонические переменные, для которых пишутся перестановочные соотношения, были независимыми. В конечном счете это означает, что у нас слишком много переменных и что часть их необходимо исключить из теории. К сожалению, обычные методы исключения лишней части gov и р0*4 не могут быть здесь применены непосредственно ввиду сложности уравнений связей (20).
Дирак первым сформулировал упрощенный вид этих связей. Уравнение для &€г сводится к
&ЄТ = Pirs- (21)
Обозначение \s принято для ковариантного дифференцирования относительно метрики grs и обратной ее мет-
Т. е. осуществлено так называемое (3+1)-разбиение пространства — времени, и тем самым теория предполагает привилегированные системы координат. — Прим. ред.
Квантование общей теории относительности 447
рики grs. Это не полная четырехмерная, а лишь трехмерная ковариантная производная.
Уравнение (21) очень напоминает соответствующее уравнение электродинамики для случая плотности заряда, равной нулю:
Vp = O. (22)
В правой части (21) стоит обобщенная дивергенция в применении к симметричному тензору в искривленном пространстве. В электродинамике же мы писали просто частную дивергенцию вектора. В этом различии причина многих трудностей.
Связь §вь имеет вид
&€L = X (~ Sragsb — -J Srsgab) Ґ+ (gab)’ (23)
где
K2HfrJ, (24)
a 3R (gab)—скалярная кривизна, построенная из метрики grs и обратной ей метрики. Первое слагаемое напоминает здесь кинетическую энергию, второе — потенциальную. И действительно, в линеаризованном варианте теории эти члены на самом деле интерпретируются как кинетическая и потенциальная энергия.
Чтобы лучше понять, какого рода трудности возникают в теории из-за наличия уравнений связи (20), вернемся к примеру электродинамики. Там были переменные Аир. Они не являются полностью независи-
мыми, так как удовлетворяют уравнению (18). Это означает, что не все переменные, фигурирующие в теории, являются независимыми каноническими переменными. Если бы мы сумели произвести такое преобразование, что в этой теории новой плотностью канонического момента стала бы величина Vp + p, то тогда она вместе с канонически сопряженной ей канонической координатой играла бы ту же роль, что я и <р, и обе новые величины также могли бы быть исключены из рассмотрения.
Это очень просто сделать, вводя продольные и поперечные компоненты векторов Аир. Пусть
A = A1 + Ar,
(25)
418
Глава 14
где Ai и At удовлетворяют следующим условиям:
Так как компоненты рт не фигурируют в уравнении связи, мы вправе выбрать рт и At в качестве основных динамических переменных. Величина pL выражается через р и равна нулю, если р = 0. Вектор Al можно обратить в нуль соответствующим выбором калибровочного преобразования. Таким образом, гамильтониан удается построить с помощью одних At и рт, являющихся в этом случае каноническими переменными.
В коммутационных соотношениях для At и рт фигурируют члены, отличающиеся от величин в обычных коммутационных соотношениях с б-функциями. Ho эти члены не зависят от At и рт и не приводят к новым усложнениям. Сами величины At и рт инвариантны относительно преобразования калибровки, и при калибровочных преобразованиях изменяется лишь Al. Мы схематически изобразили на фиг. 14.3 два различных поля А, описывающих одну и ту же физическую ситуацию, т. е. приводящих к одним и тем же напряженностям E и В. Средняя часть этой фигуры изображает поперечные части обоих полей Af общие для них обоих. Две боковые полосы изображают различные продольные части этих полей.
Полученный результат почти без изменения применим и к случаю гравитационного поля. Это значит, что в представлении prs и grs имеет место некоторая инвариантность относительно преобразований координат. Она выражает собой «внутреннюю геометрию». На фиг. 14.4 неинвариантная часть этого представления изображена полосами с редкой штриховкой по обе стороны инвариантной сердцевины. Форма этих полос зависит
