Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
456
Глава 14
сти (с редкой штриховкой)—точки, удовлетворяющие двум различным наборам калибровочных или координатных условий. Как мы видели, точки большой (часто заштрихованной) области являются в определенном смысле лишними, и многие из них изображают одну и ту же физическую ситуацию. Они различны лишь потому, что для описания одного и того же состояния поля используются разные системы координат. Поэтому вся совокупность точек в любой из областей с редкой штриховкой должна стоять во взаимно однозначном соответствии с возможными состояниями системы. Это означает также, что между точками одной и другой областей с редкой штриховкой должно быть взаимно однозначное соответствие. И действительно, в классической теории было показано, что всегда имеется каноническое преобразование, взаимно однозначным образом переводящее точки одной области с редкой штриховкой в точки другой такой же области [14].
Подобные преобразования генерируются линейными комбинациями связей. Так как преобразования, переводящие точки одной области с редкой штриховкой в точки другой, являются, очевидно, конечными калибровочными или координатными преобразованиями, то ясно, что линейные комбинации связей образуют генераторы группы преобразований симметрии (инвариантности) нашей теории. Правда, нужно еще показать, что данные генераторы действительно образуют группу. Для этого необходимо и достаточно, чтобы скобки Пуассона для двух связей равнялись линейной комбинации связей. Связи действительно обладают этим свойством. Отсюда следует, что подпространство, натянутое на те точки фазового пространства, в которых выполняются уравнения связей (область с частой штриховкой на фиг. 14.5), является односвязным. Поэтому в нашей теории невозможен физический эксперимент, который показал бы существование предпочтительной системы координат. Это говорит о том, что принцип общей ковариантности не нарушается.
Из сказанного явствует, что между группой преобразований симметрии и уравнениями связей имеется прямое соответствие. Это соответствие носит общий характер и существует всегда, когда уравнения поля могут
Квантование общей теории относительности 457
быть получены из вариационного принципа и обладают группой преобразований симметрии, элементы которой определяются одной или несколькими функциями пространственно-временных координат.
Данный вывод лучше всего проиллюстрировать примером теории электромагнетизма. Включая в число канонических переменных наряду с А и р также ф и я, можно построить следующий генератор бесконечно малого калибровочного преобразования:
c==f <*3х{уя+у (У • р+р)Ь (41)
В интересующем нас подпространстве, в котором вместе с тем выполняются уравнения связей, могут быть без труда получены вариации потенциалов поля ф и А. Эти вариации равны
6ф={ф, с}= у (42)
и
SA = (А, с} = — Vy. (43)
Уравнения (42) и (43) описывают бесконечно малое преобразование калибровки. Легко убедиться также, что генераторы я и Vp -f р дают друг с другом равные нулю скобки Пуассона, так что генераторы типа (41) действительно образуют инфинитезимальную группу. Суммирование элементов этой инфинитезимальной группы приводит к конечному калибровочному преобразованию. В общей теории относительности мы имеем то же самое, и линейная комбинация связей генерирует бесконечно малое преобразование координат.
Вернемся теперь к квантовому аспекту теории электромагнетизма. Сказанное в случае классической теории сохраняет свою силу и в применении к квантовому варианту, если мы возьмем вместо канонических преобразований унитарные, а скобки Пуассона заменим перестановочными соотношениями. В случае электромагнетизма сделать это просто: при рассмотрении канонических переменных как операторов интеграл с становится генератором бесконечно малого унитарного преобразования. Перестановочное соотношение для двух таких преобразований дает вновь унитарное преобразование того же типа.
458
Глава 14
Нетрудно показать, что оба изложенных нами метода квантования эквивалентны. Мы можем исходить из классической теории, наложить условия калибровки, а потом квантовать поле, рассматривая лишь его физические части в качестве операторов в гильбертовом пространстве, но можем и сразу рассматривать все полевые переменные как операторы, действующие в некотором линейном векторном пространстве, а затем уже наложить условия калибровки, сужая класс векторов, используемых для описания физического состояния системы. В последней формулировке существенно, что мы можем произвести унитарное преобразование, осуществляющее переход от одной системы координат к другой. На этом основании мы можем доказать эквивалентность всех вариантов калибровки. Ввиду эквивалентности обоих методов мы тем самым показали и эквивалентность рассмотрений, исходящих из двух различных вариантов калибровки.
Нам нужно преодолеть еще одну трудность, возникающую в связи с уравнениями (42) и (43). Чтобы генерировать преобразование одного набора потенциалов поля в другой набор потенциалов, удовлетворяющий определенной системе условий калибровки, скалярная функция калибровки у должна, вообще говоря, сама зависеть от этих потенциалов. Следовательно, для того чтобы перейти от некоторого произвольного набора потенциалов к потенциалам, удовлетворяющим кулоновой калибровке (V-A = O), необходимо воспользоваться функцией калибровки, имеющей вид
