Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Г = (V2)-1V - А, (44)
где А —исходный потенциал. Из этого следует, что если А и р, по предположению, удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям
[Аг, p's] = ih 6/6 (х — jc'), (45)
то тогда новые величины
A = A — V (V2)-1V • А (46)
и
р = р
(47)
Квантование общей теории относительности 459
не будут удовлетворять соотношениям (45). Чтобы обойти эту трудность, при генерировании калибровочных преобразований следует воспользоваться уравнениями (42) и (43). Так как с является генератором бескодечно малого унитарного преобразования, то преобразованные переменные должны удовлетворять перестановочным соотношениям (45). Уравнения (42) и (43) имеют силу лишь в подпространстве линейного векторного пространства, где справедливы уравнения связей. В остальном векторном пространстве в выражениях для 6ф, 6А, 6я и 6р появляются дополнительные члены, являющиеся линейными комбинациями связей. Эти члены следуют из отличных от нуля коммутаторов между ф, я, А и р и величинами YhY- Благодаря наличию этих членов перестановочные соотношения между преобразованные ми полевыми переменными сохраняют силу. Тогда можно непосредственно доказать инвариантность теории при произвольном калибровочном преобразовании (с ^-числами, т. е. не коммутирующими друг с другом квантовыми операторами) даже в присутствии поля Дирака.
Сказанное выше можно проиллюстрировать на простом примере (фиг. 14.6). Пусть два наблюдателя А и Б исследуют электрические свойства сопротивления. Оба они понимают, что реальное значение имеет лишь понятие разности потенциалов между двумя точками, но что намного проще приписать потенциалу в некоторой точке какое-то произвольное фиксированное значение, а затем определять потенциалы во всех других точках относительно выбранной первой точки. Пусть А решил считать равным нулю потенциал на левом конце сопротивления, а Б — потенциал на его правом конце. Если данное сопротивление является идеальным, то при сравнении результатов их наблюдений не возникает никаких трудностей. Чтобы сравнить свои результаты с результатами другого наблюдателя, наблюдателю Б достаточно прибавить ко всем результатам своих измерений потенциала величину полной разности потенциалов между двумя концами сопротивления, т. е. произвести калибровочное преобразование. После этого результаты обоих наблюдателей можно непосредственно сравнивать.
460
Ґлава 14
Допустим теперь, что сопротивление неидеальное. Тогда потенциалы в этом сопротивлении будут флуктуировать вследствие температурных шумов. С точки зрения А флуктуирует потенциал на правом конце, а с точки зрения Б— на левом. Это несколько озадачит
Фиг. 14.6. Иллюстрация к явлению флуктуирующего калибровочного преобразования при измерении разности потенциалов на сопротивлении.
обоих, ибо каждый из них положил потенциал одного из концов сопротивления равным нулю, а нулевое значение по определению не подвержено флуктуациям. Для сравнения своих результатов с результатами А наблюдатель Б должен будет теперь производить калибровочное преобразование, флуктуирующее во времени. Такое преобразование аналогично калибровочному преобразованию с ^-числами в квантовой теории.
В общей теории относительности дело обстоит примерно так же, как и в электродинамике, но имеется одно очень важное отличие. Хотя здесь и можно построить генератор бесконечно малого преобразования координат с ^-числами, но конечного преобразования получить уже нельзя ввиду невозможности интегрирования. Оказывается такие бесконечно малые генераторы не образуют группы. В самом деле, можно показать, что не существует такого упорядочения сомножи-
Квантование общей теории относительности 461
телей в классических формах связей, которое привело бы к выражению перестановочного соотношения для Жъ и ?№'l снова в виде линейной комбинации этих связей. Таким образом, область с частой штриховкой на фиг. 14.5, не ‘является односвязной, и использование различных координатных условий приводит к существенным неэквивалентным вариантам квантовой теории гравитации. Это заключение резко противоречит принципу общей ковариантности. Если бы оно было справедливо, то это означало бы, что можно (по крайней мере в принципе) определить, какая из всего бесчисленного множества координатных систем является наиболее подходящей для описания нашего мира.
Концептуальные проблемы квантованной общей теории относительности
Полевые переменные общей теории относительности g^v выполняют двоякую роль1). С одной стороны, они описывают гравитационное поле, с другой — служат в качестве метрики, определяя таким образом геометрию пространства — времени и, следовательно, влияя на все другие поля, существующие в данном пространственно-временном многообразии. Если рассматривать теперь g^v как полевые переменные квантовой теории, то они должны быть подвержены обычным квантовым флуктуациям. Поскольку g^v рассматриваются как переменные гравитационного поля, это дополнительное усложнение как будто не приводит к каким-либо новым трудностям в понимании физического смысла теории но сравнению со случаем квантования электромагнитного поля. Ho если g^ используются и для описания метрики, то возникает множество новых концептуальных проблем, и не последняя из них — как понимать флуктуации геометрии. В заключение обзора мы коротко остановимся на некоторых из этих проблем.
