Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
4.1. ТЕОРИЯ КРОККО [38]
Предполагая, что давление постоянно по толщине пограничного слоя,
перепишем интегральное соотношение Кармана следующим образом:
dl dm с dp
-:Г- = Ue -:--О -;--Тш ,
dx dx dx
где / и т - количество движения и массовый расход, которые
могут быть выражены через толщину пограничного слоя:
т = реие (б - б*),
I = р еи1 (б-б* - 0).
Чтобы решить задачу о взаимодействии скачка уплотнения с пограничным
слоем, используем схему течения, показанную на фиг. 21.
В области взаимодействия обычное приближение пограничного слоя
неприменимо. Однако в предположении, что ошибки аппроксимации
пограничного слоя существенны только в ограниченной области и быстро
убывают выше и ниже по течению от зоны вза-
ГЛАВА VI
имодействия, можно ввести контрольную поверхность, включающую область
больших ошибок (фиг. 21). Далее, предполагается, что, когда пограничный
слой проходит через скачок, внешний
поток может быть представлен двумя зонами однородных течений 1 и 2 с
косым скачком между ними, и если Фг > Фя> где Ф = / (х)/* - к
(определения /их будут даны ниже), то происходит отрыв потока. На границе
пограничного слоя статическое давление за скачком рг постоянно (или почти
постоянно), а между сечениями 1 и 2 происходит перераспределение и
выравнивание давления, неравномерного по толщине пограничного слоя. Этот
процесс заканчивается в сечении 2, в котором давление становится равным
рг. Расстояние между сечениями 1 и 2 составляет всего несколько толщин
пограничного слоя, поэтому на таком коротком расстоянии можно пренебречь
распространением турбулентности во внешнем потоке и поверхностным
трением. Таким образом, уравнения неразрывности и количества движения в
направлении течения имеют вид
т 1 = rrin, /j - /о = (р2 - pi).
Уравнение энергии получено в предположении о постоянстве температуры
торможения и скорости звука заторможенного потока. Отношение давлений
имеет вид
Рг _ | | lvi(xlwl к2'-Р2) (63)
Pi Ф1 + Х1*1 бг г|>1-г*1*1 и>г '
где w = ujas, as - скорость звука заторможенного потока, х = = ulue, и -
средняя скорость, определяемая соотношением и =
= Пт,
t (w) = Те,'Т, = 1 -y~^w2
и Ts - температура торможения. Как и прежде, ф (х) = / (и)/и - X.
Величину / (х) можно найти из формулы
а
ш =Ит 1-----------------------
5 /~ - (Y -1) ("2/а?)
Фиг. 21. Модель взаимодействия [38].
ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА
265
Другое соотношение между w2, ий, р2 и р4 дает уравнение Рэнкина - Гюгонио
(54)
Для рассматриваемой модели значение 62 - 64 является функцией только
изменения скорости (связанного с и pdPi) и расстояния выравнивания;
которое невозможно определить расчетным путем. Поэтому, как правило,
решение можно получить подбором различных значений 62/6i при известном
законе ф (х), полученном путем численного расчета. Однако в случае
отрыва, вызванного скачком уплотнения, можно получить теоретическое
решение, поскольку оно не зависит ни от 61/62, ни от расстояния
выравнивания. Причина этого заключается в том, что значение х после
отрыва остается постоянным и равным xs. Из уравнения (53) при х = xs
получаем
¦'-'5 Ь-Т=г(й-') № + *-?"!)}. <">
а из уравнения (54)
<5в)
Исключая w2 из (55) и (56) и подставляя t2/ti, получаем из (54)
уравнение, выражающее связь между p2/pi, Wi, Х\ и xs, которое содержит
третью степень р21р\ и вторую степень w\ или Mj = = ufjti- Решение для в
зависимости от р2/р\, Х\ и xs имеет вид
G + HF + {G{G + 2HP) + {xa/*i)iH*}1b
М' 2
где
F = 1
\ Pi I Щ
2у
п = 2 / xs \2 (Pi/Рг) - (Рг!р\)
Y-1 V >tt / {(У + 1)/(У -1)} + (щ/Р2)
И
Н = - (-- 1 \ + .
у V pi I V щ I
Как только найдены значения p2lpi и w2, с помощью последнего члена
уравнения (53) можно определить значение ф2. Оно соответствует любому
заданному значению 6i/62. Решение, полученное для ф2 > справедливо только
при условии, что поток действительно имеет отрыв, и наоборот, если
интенсивность скачка недо-
266
ГЛАВА VI
статочна, чтобы вызвать отрыв, то решение находится численно для
заданного значения 6i/62.
Отношение давлений при переходе через скачок уплотнения, вызывающий
отрыв, представлено на фиг. 22 в зависимости от
ф и г. 22. Отношение давлений при переходе через скачок уплотнения,
вызывающий отрыв, в зависимости от числа Маха. Для безотрывного течения
отношение давлений зависит от отношения толщин Sj/S2 [38].
Значение ф(я) вычислено по [39] {у.:. = 0,72). - течение с отрывом;--
без-
отрывное течение.
числа Маха. Теоретические кривые соответствуют течению с отрывом; xs =
0,72 соответствует кривой Шубауэра - Клебанова [39], xs = 0,76 - кривой
Клаузера [40].х)
Кривые вычислены по уравнению (57) при х4 = xs, i|>i = ф0 для двух
значений xs = 0,72 и xs = 0,76. Совпадение теоретических и
экспериментальных результатов удовлетворительное для xs = 0,76 во всем
диапазоне значений Mj, за исключением малых Mi, при которых отрыва не
происходит.
4.2. ИССЛЕДОВАНИЯ ДОНАЛЬДСОНА И ЛАНГЕ
Дональдсон и Ланге [41] определили приращение давления, при котором
