Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 60

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 .. 63 >> Следующая

(1>
(о р dt ^ 4,
о
то необходимо будет
-1< А < 1;
этим доказывается следующая теорема Ляпунова.
2?слц функция р такова, что может получать только положительные или
равные нулю значения (не будучи нулем тождественно), и если притом
функция эта удовлетворяет условию
Ы
(o^pdt^A,
о
то корни характеристичного уравнения, соответствующего уравнению (45),
всегда будут мнимыми, обладая модулями, равными 1 *).
Теорема дает лишь достаточные условия. Если р есть положительная
постоянная, то корни характеристичного уравнения у (х) - 0, отвечающего
вещественному периоду со, будут иметь модули, равные единице. Но если р
есть положительная периодическая функция, можно привести примеры, в
которых характеристичное уравнение обладает вещественными корнями, из
которых один по модулю будет больше, другой меньше 1.
Исследование устойчивости в критических случаях, когда характеристичное
уравнение у (х) = 0 имеет один равный единице корень или два мнимых корня
с модулями, равными единице, подобно исследованию тех же вопросов для
уравнений с постоянными коэффициентами. Случаи эти рассмотрены Ляпуновым
в в п. 56-64 ето труда "Общая задача об устойчивости движений".
*) Дальнейшие исследования А. М. Ляпунова, связанные с уравнением (45),
опубликованы в Записках Академии Наук (8-я серия.- 1902.- Т. 13, № 2).
ПРИМЕЧАНИЯ *)
К с. 10. "Остроумие ляпуновского определения устойчивости состоит в том,
что определение это не беспредельно широко, иначе оно было бы
безынтересным, и сужено оно ровно настолько, чтобы охватить все коренное
во всевозможных задачах устойчивости." (Ч е т а е в Н. Г. О некоторых
задачах об устойчивости движения в механике. // ПММ.-1956.- Т. 20, вып.
3,- С. 309-314.)
К е. 11. Это обстоятельство позволяет с успехом применять ляпуноЕ-скую
теорию устойчивости для решения важных прикладных задач, возможность чего
впервые была отмечена Н. Г. Четаевым еще в начале 30-х годов в его
лекциях по устойчивости самолетов.
К с 14. "В большинстве инженерных задач требуется удовлетворить
выписанным в определении устойчивости неравенствам при заданных значениях
X, А за ограниченный промежуток времени от начального момента t0 до
некоторого момента Т. При фиксированных значениях величин X, A, t0, Т в
определении устойчивости возникает определение (X, А, ^-устойчивости в
конечном за ограниченный промежуток времени.
Изменяя, если требуется, правые части дифференциальных уравнений
возмущенного движения в задаче о (X, A, t0, Г)-устойчивости
соответственным образом в областях
I "
для всякого I > *0, а в области
Х^х\^А
S
для значений t, превосходящих Т, мы можем привести поставленную задачу о
(Х,А, t", Т)-устойчивости к некоторой накрывающей ее задаче Ляпунова об
устойчивости с тем дополнительным ограничением, чтобы для преобразованных
уравнений функции Ляпунова обладали оговоренными у Ляпунова свойствами,
начиная с заданного t0, и чтобы для заданного числа А получаемое по
методу Ляпунова число X превышало или равнялось заданной для X величине.
Обстоятельство это делает прямой метод Ляпунова весьма ценным для тех из
прикладных задач об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток
времени, для которых существует накрытие задачей Ляпунова." (Ч е т а е в
Н. Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчи-
*) Составлены В. В. Румянцевым
172
ПРИМЕЧАНИЯ
вости неустановившихся движений // ПММ,-1960,- Т. 24, вып. 1.- С. 6-19.)|
К с. 16. "Введенное Ляпуновы мпонятие знакоопределенной функции, если она
зависит явно от t, отличается от обычного понимания знакоопределенной
функции. Например, при п = 2 функция
е~* (х\ + х\)
для всех рассматриваемых значений < есть определенно-положительная
квадратичная форма в обычном смысле слова и не является знакоопределенной
в смысле Ляпунова" (примечание [6] Н. Г. Четаева к книге Ляпунова,
указанной в примечании 1) на с. 8).
К с. 20. Для прикладных задач имеет значение не только факт существования
числа X по заданному числу А, но и оценка этих чисел и проверка
пригодности оценок в конкретных условиях задачи, для чего особенно
эффективным оказывается метод функций Ляпунова.
К с. 24. На этом примере Н. Г. Четаев предложил метод построения функции
Ляпунова в виде связки интегралов уравнений возмущенных движений,
оказавшейся весьма эффективным и широко применяемым для решения задач
устойчивости в работах многих исследователей. Вообще этот метод состоит,
коротко, в следующем. Пусть известны некоторые голоморфные интегралы
уравнений возмущенных движений
Fj (хг, . . ., хп) = const (< = 1, . . ., то), Fj = 0.
Функция Ляпунова строится в виде связки интегралов т к
v (*i......*")= 2 X.vi + 2 |i/? (0 < к < то),
г=Г j=l
где Xi - некоторые постоянные, подбираемые так, чтобы сумма линейных
членов в разложении функции F (xlt . . ., хп) в степенной ряд по
переменным х3 в окрестности невозмущенного движения xs = 0 тождественно
равнялась нулю, так что разложение этой функции начинается с квадратичной
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed