Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
положительным степеням хх, . . ., хп начинаются с членов второго
измерения", функции Х& предполагаются ограниченными для всякого 1,
большего t", и для всяких xL, . . ., хп, удовлетворяющих условию (40):
поэтому при выборе начальных значений х10, . . .
. . ., хп0 согласно неравенству (39) при достаточно малом R выводим, что
если невозмущенное движение устойчиво, характеристичное число второго
слагаемого правой части последнего равенства в силу
предложения о характеристичном числе интеграла
(п. 62) не меньше нуля. Следовательно, характеристичное число функции zx
будет равно Ях, ибо при сделанных предположениях постоянная с отлична от
нуля.
Но хар. число {;rs} хар. число {zr}, поэтому
хар. число {х3} Яг 0.
Это неравенство несовместимо с условием (40). Мы должны поэтому
заключить, что каково бы ни было значение R, стесняющее выбор начальных
возмущений х10, . . ., хп0, среди последних най-
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
155
дутся такие, при которых неравенство (40) перестает выполняться для
некоторых значений t, больших t0.
Таким образом, теорему можно считать доказанной.
Примечание. Если система дифференциальных уравнений первого приближения
не есть правильная, то, обозначая через S сумму всех характеристичных
чисел нормальной системы ее решений, а через р характеристичное число
функции 1/Д. будем иметь
S -j- р - -ст,
где о - некоторое положительное число. В этом случае характеристичное
число функции не меньше - L - с. А на осно-
Д
вании этого нетрудно доказать (рассуждениями, подобными изложенным здесь
и в п. 69) следующие предложения*.
Пусть система дифференциальных уравнений первого приближения не есть
правильная; если она имеет все характеристичные числа больше о, то
невозмущенное движение устойчиво, а если среди ее характеристичных чисел
найдется по крайней мере одно отрицательное, численно большее о, то
невозмущенное движение неустойчиво 1).
*) ДрУгие критерии устойчивости по первому приближению были предложены в
работах:
Perron О. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math.
Zeitschrift.- 1930,- Bd 32.
Персидский К. П. К теории устойчивости интегралов системы
дифференциальных уравнений /7 Изв. физ.-мат. о-ва при Казан, ун-те,-
1939.- Т. 11,- С. 29-45.
Малкин Г. Д. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen //' Сб. тп.
Казан, авиап. ин-та.- 1934.- № 2.- С. 21-28.
ГЛАВА 10
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Инвариантная подстановка и структура частных решений
71 [46]. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
в предположении, что все коэффициенты psr являются .вещественными,
периодическими, ограниченными, непрерывными функциями вещественного
переменного t с одним и тем же вещественным периодом а> (а> 0).
Уравнения в вариациях для ведущего
периодического движения во многих практически интересных случаях
представляют дифференциальные уравнения такого вида.
Задачи устойчивости невозмущенного движения (хх - 0,. . . . . ., хп - 0)
приводят к определению характеристичных чисел для рассматриваемых
уравнений. К сожалению, этот последний вопрос не является вполне
разрешенным, хотя решение его и облегчается существованием инвариантной
подстановки
не изменяющей вида рассматриваемых уравнений (41).
Инвариантная подстановка, будучи примененной неограниченное число раз к
значениям t на отрезке (0, о>), воссоздает всю числовую прямую
вещественного переменного t. Другими словами, по поведению общих решений
х& при изменении t на отрезке (0, ю) возможно определить поведение
всякого частного решения xs при неограниченно изменяющемся t.
Допустим, что для уравнений (41) найдено п независимых решений
(41)
xlr, . . ., xnr (r = 1, . . ., n).
Функции
xlr (t -f- <a), , . ,, xnr (t -f- се)
ИНВАРИАНТНАЯ ПОДСТАНОВКА
157
по свойству периодических уравнений, допускающих инвариантную подстановку
S, представляют также их решение. Поэтому они будут линейно выражаться
через независимые решения xsr:
*^sr (*)) = G-ir^sl (О "Ь • • • "Ь ^nr^sn (0 ~ 4* • • *" ^))
где акг являются некоторыми постоянными для всякого г, взятого из ряда 1,
. . ., п.
От выбранных нами независимых решений мы можем перейти к другой подобной
системе путем линейных преобразований с постоянными коэффициентами, и, в
частности, мы можем перейти к некоторому решению
Xs - Pi-Г,si • • • ~Ь Pn^-sm
обладающему фундаментальным свойством
xs (f + о>) - х% (t) (s = 1, . . ., л).
Для определения постоянных рг отсюда получаются соотношения
Q'nl't'sn' (<)] + • • • + Р" UirAu (f) + • • • '
. . . -f- <lnnXsn (0] ^ I (0 ~Ь • ¦ • PrAn (01*
Такие соотношения (s - 1, . . n) должны удовлетворяться независимо от
значений t; поэтому, в силу свойств линейно независимых систем решений,
должны быть приравнены коэффициенты при одинаковых xsr:
(r)nPi ~Ь • • • аыPn -
fflnlPl "Ь • • ¦ (r)ппРп ^Рпш Полученная система линейных однородных
алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами будет допускать
нетривиальное решение для постоянных Рг, если составленный из ее