Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
полной производной и параметрами системы. Этот метод получил широкое
распространение и рядом исследователей найдены полезные для практики
эффективные оценки скорости затухания переходного процесса в
нестационарных линейных и нелинейных системах.
К с. 87. Оно остается справедливым и при одновременном добавлении
гироскопических сил.
К с. 141. Определенные Ляпуновым пределы характеристичных чисел возможно
уточнить (см. статью Н. Г. Четаева, упоминаемую в примечании к с. 14), а
именно:
хар. число exp $ a dt > хар. число {г,} > хар. число exp \ Р dt,
где а и Р обозначают, соответственно, наименьший и наибольший корни
уравнения
8=1
п
определенно положительна в области С. Тогда положение равно-
8
Следствие. Наименьшее характеристичное число решений уравнений (35) будет
положительно, если положительным будет характеристичное число функции exp
\ Р dt.
ПРИМЕЧАНИЯ
175
К с. 145*. "Вопрос об устойчивости невозмущенного движения х, = О для
уравнений (35) разрешается! знаком наименьшего характеристичного числа;
это сохраняется, если заданные уравнения правильны и в них дополнительно
существуют члены X,, начинающиеся в своих разложениях по целым
положительным степеням с членов не ниже второго измерения. Эти
обстоятельства делают приведенную теорему практически полезной, так как
задача об устойчивости сводится при помощи нее к алгебраическому
уравнению
II С"г - &srk II = (-1)" <*" + "I*"'1 -f ... + "") = 0.
Согласно теореме Гурвица "...необходимое и достаточное условие для
положительности наименьшего характеристичного числа уравнений (35) с
коэффициентами psr, стремящимися к определенным пределам саг при
неограниченном росте t, состоит из неравенств Д; > 0 (/ = 1, . . п),
где Л, суть
главные диагональные миноры матрицы
aj 1 0 0 . ..
аз <*г flj 1 ... "
(Ч е т а е в Н. Г. О наименьшем характеристичном числе // ПММ.- 1945,- Т.
9, вып. 3,- С. 193-196).
К с. 145*. Для случая устойчивости можно уточнить данную оценку (см.
статью Четаева, цитируемую в примечании к с. 14).
К с. 146**. В статье Н. Г. Четаева "Об устойчивости грубых систем" (ПММ,-
I960,- Т. 24, вып. 1,- С. 20-22) для случая устойчивости выведены оценки
наибольших и наименьших отклонений возмущенных переменных, получившие в
дальнейшем большое приложение в практических расчетах.
К с. 147. См. примечание** к с. 145.
К с. 151. В п. 68 Н. Г. Четаев дает доказательство своей фундаментальной
теоремы, которая обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему
Пуанкаре - Ляпунова для периодических движений (Четаев Н. Г. Об одной
задаче Коши// ПММ.- 1945.- Т. 9, вып. 2.- С. 139-142).
К с. 155. См.: Четаев Н. Г. О некоторых вопросах об устойчивости и
неустойчивости для неправильных систем//ПММ,- 1948.-Т. 12, вып. 5.- С.
639-642.
К с. 164. Предложенный Н. Г. Четаевым метод приближенного определения
характеристичного уравнения и оценок характеристичных чисел путем
усреднения коэффициентов имеет большое значение для практических
расчетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства.......................................................
3
Предисловие автора ко второму изданию 1955 г............................
5
Глава 1. Задачи устойчивости....................................... .
7
Два замечания.................................................... 7
Постановка вопроса............................................... 9
Уравнения возмущенных
движений............................................. 11
Глава 2. Общие теоремы прямого метода Ляпунова.........................
15
Некоторые определения........................................... 15
Теорема Ляпунова об устойчивости................................ 18
Теорема о неустойчивости....................................... 27
Глава 3. Устойчивость равновесий при потенциальных силах . . 33
Теорема Лагранжа................................................ 33
Коэффициенты устойчивости Пуанкаре.............................. 36
Критерий знакоопределенности квадратичных форм ..... 40
Бифуркация равновесий.......................................... 44
Г л а в а 4. О линейных дифференциальных уравнениях с постоянными
коэффициентами................................................... 49
Частные решения................................................. 49
Элементарные делители........................................... 55
Канонический вид первого приближения............................ 61
Теорема Гурвица ................................................ 67
Глава 5. Действие возмущающих сил на равновесие........................
81
Нормальные координаты........................................... 81
Влияние новой связи............................................. 84
Влияние диссипативных сил....................................... 85
Влияние гироскопических сил..................................... 88
Некоторые вынужденные движения.................................. 94
Г л а в а 6. Устойчивость по первому приближению.......................
97
