Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
VUr-ctS0) (p4J^-
-f (iaQ sin 0)
iKр2 |/а2
Qp2
і KV
+
+ у 2 (a2 sin 0 cos 0) —iKV + ia sin 0 =
iaj sin 0
д
дО
Q P2
ctS0) іг
2іа2 sin 0 cos 0
Qp5
KV = 0. (291)
202
Г лава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Заключаем отсюда, что в выбранной нами калибровке
Yi = Y3= (292)
функции
U = А\+ Al и V = Al+ A44 (293)
остаются неопределенными. Этот результат согласуется с тем, что после выбора калибровки (292) у нас еще остаются четыре калибровочные степени свободы. Мы можем использовать этот произвол и положить
U=V = 0. (294)
Другими словами, можно положить все четыре диагональных элемента матрицы А равными нулю.
93. Завершение решения
Имея явные выражения для функций Z1 и Z2
Z1 = К (J — Н) cos 0, Z2 - —irQ (F + G) sin 0, (295)
можно выразить через эти решения все другие функции, необходимые для определения возмущений метрики. Действительно, уравнения (269) и (270), т. е.
(rKQ sin 0/А) (F-G) =
= — (arQ sin 0//Ср2) Z1 + [(г — M)/А — г!р2] Z2 — X1, (296)
KQ (J + Н) cos 0 - [(г2 + a2) ctg 0/р2] Z1 + (аК cos 0/p2Q) Z2 + Y19
(297)
дают решения для функций F — GuJ + #.
Уравнения (128) и (129), записанные через функции Z1 и Z2, дают решения для функций B2 и C1. В калибровке U=V = О находим
<«*>*- ‘та?**+
+ таг [*• “(т + *'}¦
пг, _ ir (р2а — aQ sin 0) 7
У 1 — p2KQ cos 0 1 —
-ToJnnrh H=Tl-Z,]. (299,
Явные выражения для функций X1 + X2 и Y1 + Y2 будут даны в § 94 (уравнения (319) и (320)); эти уравнения вместе с (254) и (255) для функций X1 — X2 и F1- Y% явным образом определяют функции X1..... Y%.
93. Завершение решения
203
Решения для функций B2 и C1 определяются уравнениями
(298) и (299), а решения для функций B1 и С., следуют из уравнений (127) и (130):
(t/C/A) B1 = (2ia cos 0/р2) C1-d(J + Я)/дг, (300)
QC2 = — (2iar sin 0/р2) B2 + ~ (F — G) sin 0. (301)
И наконец, уравнения (134) и (136) (или уравнения (220) и (221) и
(187) и (189)) завершают решение. Выраженные через функции
Z1 и Z2 эти уравнения принимают следующий вид:
(tfC//2)(^ + F?) =
= — (ia/rKQ cos 0) [(r2Q sin 0) Z1 — (aK cos2 0) Z2] -f- [к, v] -\- [%, v]*,
(302)
UaQ sin 0//2) p2 (Fl -I- /? =
= -f- (ia/rKQ cos 0) [(r2Q sin 0) Z1 — (a/C cos2 0) Z2] + [X, a] -f- [X, o]*,
(303)
<¦/"> / / o"\ f C1 c2\ I ; ^2P4 ~~ 2°2 cos2 ® 7 I
(Q/т/ 2 ) (F2 - F1) + » - 2~Кк2Р2 cos Є-Z* +
. IflAcosQ Г / Г - M V-Il A d P4 D / \ /ОПЛ\
+ ткоЖе I (—-----------Tr)Z2-XlJ+ W x ^2= <K’ V>- (304>
і K
iK 2 / D3 n4\ . Q2P4 + 2aV2 sin2 0 ~
-T= P V^4 — Г З) — І Огп2Л2 сіп ft
Г V 4 ж * 2/.p2Q2 sjn 0
/аг sin 0
KQ cos 0
(Г2 + ;?Ctg<4 + F1] -JLr (А _ctg 0) P^C1 = (X, а).
(305)
Функции спиновых коэффициентов, которые появляются в правых частях (302) и (303), были уже выписаны явно в уравнениях (246) и (247), а дополнительные функции, появляющиеся в уравнениях (304) и (305), имеют вид
(х, v) = (1/2р2) [(А/2) (р*х* — рх) + (2р4/Л) (P*v — Pv*)] =
= ((712/2 MA) IrY [SS]~—aX [[SS]+ cos 0 + 3 [S]+ sin 0}], (306) {к, о) = (1//2"p2)[p2 (p2X* — Aa72) — (p*)2 (p2X — Ao*/2)] =
= (I /12 /2 Al)[{— r [S>P]~ + З [P]-} [S]- + ia [SDP]+ [S]+ cos 0j. (307)
Решения для метрических функций в калибровке U = V = O удов л етво р я ют сл еду ющи м тождеств ам:
(іКІY 2) {F\ — F2\) + (iar sin 0) B2 — (я2 sin 0 cos 0) (F — G) =
= [{К* v} + {x, vl*J, (308)
204
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
(Qp2//2) (Fl - Ft) + (ia cos 0) C1 + г (J + Я) =
= (i/a sin 0) [{X, а} — а[*]. (309)
Эти тождества следуют из уравнений (288) и (289) вследствие сокращения в них членов с U и V.
94. Интегральные тождества
Увлекшись решениями уравнения Ньюмена—Пенроуза мы пропустили несколько интересных вещей. Прежде всего функции 52 и 9> дают явные выражения для неопределенных интегралов
г
Ж = Д'/2 j IY + 4Xa (V1 + r^-VX] A~3/2 dr, e (310)
^ = J {[S]- COS 0 + [4(7 (Xa2 - 6a2)/a (^1 + T1)] [S]+} d0.
Можно ли было догадаться, глядя на эти интегралы, что они могут быть вычислены в явном виде?
Другой особенностью является существование уравнений (201) и (202), связывающих функции 5? и 9> с функциями Тьюкольского. Нетривиальность этих уравнений становится очевидной, если поставить вопрос о том, как удостовериться в их справедливости. Члены в левых частях этих уравнений могут быть выражены через функции X (= P+2 + Р-2) И Y (= —iP+2 + ІР_2) ИЛИ через функции [S I+ (= S+2 + S_2) и [5 ]“ (= S+2 — S_2) с помощью уравнений
di% 1 /,г , 4ко v\ і г-М ^ /Qt i\
иг = — \Y +17+ТГ ) а (311)
d25? I / dK 4Хо dX 4Xa у\
dr2 ~ Д \ dr Vi + T1 Г dr + tSi + T1 ) '
- T (¦У + -WT^rTгХ) + *¦ <312>
!g.- И-cose+ 4^* "ff1 [Sr, (313)
d2y - fSl-.іпЄ I dtsrCOS 9 I 4g(^2~6a2> d^I+ /314ч
d02 — I^J Sin И + d0 COSW-j- a ^P1) d0 > (^14)
поскольку нам известны выражения функций 52 и через X, Y, [SI+ и [5]- (уравнения (180) или (181) и (185) или (186)), а производные функций X, К, [SI+ и [S]- выражаются через сами эти функции в силу уравнений (74) и (79). Сложность этих соотношений, которые необходимо подставить в уравнения (201) и (202) для сведения их к тождествам, и является мерой их нетривиальности.
