Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Y = ffVZ + TAjrZ, (120)
где
T=W + 2 iaff. (121)
Действуя оператором Л_ на уравнение (119) и используя тот факт, что функция Z по предположению удовлетворяет уравнению (118), находим (ср. с уравнениями (290) — (292) гл. 4)
A_Y = - (AVoi4s) рZ + RA+Z, (122)
где
(~Д7й45) р (г*) = -±-fV + WV, (123)
R = ffV + ATIArsf. (124)
Потребуем теперь, чтобы функция Y, определяемая уравнением (119), удовлетворяла уравнению (HO) вследствие уравнения (118). Повторяя выкладки § 30 гл. 4, получаем уравнения (ср. с уравнениями (298) и (299) гл. 4)
= W <|25)
¦а^Г (-^ «) = ir- fQ7" -2/аЛ) + P- <'26>
Можно проверить, что уравнения (122)—(126) допускают интеграл
(S4VAs) RffV + РГ = К = const. (127)
Этот интеграл позволяет обратить уравнения (120) и (122):
(AVS4s) KZ = RY — TA_Y, (128)
KA+Z = р Г + (S4s/As) VffAY. (129)
Уравнения (120), (122), (128) и (129) являются необходимыми и достаточными условиями того, что из уравнения (110) вследствие уравнений (123) — (126) следует уравнение (118), и обратно.
Поскольку уравнения (122)—(126) допускают интеграл (127), достаточно рассмотреть следующие уравнения:
R — ffV = ATIArik, (130)
-2^ + Р. <>31)
R(R- AT/Ar,f) + (AVS4s) р T = (As/S4s) К, (132)
(R -Qff) V = (As/S4s) dp/dr*. (133)
73. Общая теория преобразований
127
Отметим, что уравнение (132) есть другая форма записи интеграла
(127), в котором fV заменено на R — 7\г* в соответствии с уравнением (130).
Уравнения (130)—(133) дают четыре уравнения для пяти функций /, Р, І?, Г и V. Имеется, таким образом, значительная свобода для поиска нужных нам решений этих уравнений. Однако для конкретных функций Q, которые следуют из уравнения (109) при s = 1/2, 1 и 2, оказывается, можно написать решения уравнений в явном виде. Можно преобразовать уравнение (HO) к одномерному волновому уравнению и найти явное выражение для потенциала V.
Предположим, что уравнение (HO) преобразуется в одномерное волновое уравнение вида (118) и пусть Z1 и Z2 — два независимых решения этого уравнения. Их вронскиан, очевидно, будет постоянным (ср. с уравнением (354) и последующими уравнениями гл. 4):
[Z1, Z2Irslt = const; (134)
здесь при вычислении вронскиана производные берутся по переменной г*, на что и указывает индекс. Если частота а принадлежит интервалу частот, которому соответствует суперрадиация, то при интерпретации соотношения (134) следует соблюдать осторожность, потому что в этом случае, как будет показано, потенциал V сингулярен (так же как и функции PwQ в уравнении (HO)) при г = I сх I > г+. Как указывалось выше, в этих случаях уравнение нужно рассматривать раздельно для двух ветвей функции г* от г. Вронскианы двух независимых решений будут постоянными по отдельности для каждой ветви, но не обязательно одинаковыми. С другой стороны, если два рассматриваемых решения Z1 и Z2 соответствуют двум различным решениям уравнений Тьюкольского, то вронскианы [Z1, Z2Ir* для двух ветвей должны быть связаны друг с другом, и эту связь можно найти следующим образом.
Пусть Y1 и Y2 соответствуют двум решениям Z1 и Z2. Тогда
IY1, KaIr. = Y1AJTt - YiAJT1. (135)
Подставляя теперь вместо Y и Л_ Y выражения (120) и (122), находим:
[Y1, Y2]г. = [RfV + (AVS4s)PT] (Z1AJL2 - Z2AJ1). (136)
Поскольку первый сомножитель в правой части пропорционален интегралу (127), получаем
[Y1, FJrt = —/С (AVS4s) IZ1, Z2Iv (137)
Ho из уравнения (105) следует, что
[Y1, YJrt = - I й21425'1* [Ps (I), Ps (2)Ъш =
= -А (-Й21 й2128"')-1 [Ps (I), Ps (2)1, (138)
№
Ґлава 8. Электромагнитные волны в геометрии Керра
где Ps (1) и Ps (2) — независимые решения уравнения Тьюкольского, из которых получены решения Y1 и Y2. Объединяя уравнения (137) и (138), получаем
Kiz1, Z2Jrt = —A1_s[Ps(I), Р,(2)]г. (139)
Поскольку уравнение Тьюкольского не может иметь сингулярности в интервале г+ < г < оо, из уравнения (139) следует, что
{[Zi, Z2]rJr < і аі — ( 1) [[Zi, ^2Іг*}Л > і а|» (140)
когда а2 < 0 и < |а|, т. е. когда имеет место суперрадиадия и 0 < а < о6. Таким образом, в случае s = 1 и 2 при пересечении сингулярности г = | оь | (>г+) меняется лишь знак вронскиана IZ11 Z2I^v в случае же s = 112 вронскиан [Z1, Z2Ir^ сохраняет свое значение.
До сих пор наше рассмотрение касалось только уравнения (HO) для функции P+s. Что меняется для комплексно-сопряженного уравнения для функции P_s? Когда приходится использовать оба уравнения, оказывается удобным различать соответствующие решения Y комплексно-сопряженных уравнений, вводя обозначения F(+a) и Y{'°\ Уравнения для них будем писать в виде
д2у(±а) + рА_у(±о) _ qY(±o) = Q (141)
И если мы будем искать преобразование, приводящее уравнение для Y^G) к одному волновому уравнению для функции Z(_a) (функции К(+а) соответствует решение Z(+a) волнового уравнения), действуя по аналогии с преобразованием уравнения для функции Y{+°\ то найдем, что все уравнения останутся справедливыми, если в них поменять знак а всюду, где он входит явным образом, и это замечание относится, в частности, и к уравнениям (130)—(133). Следует, однако, отметить, что а2 остается неизменным в обеих системах уравнений, потому что «комплексное сопряжение» требует одновременного изменения знаков о и т, например операторы ?Dn и ^ являются комплексносопряженными только при таком одновременном изменении знаков а и т.
