Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
2vl sin a cos a uj sin 2а
I = vnt cos a =------------=----------. (7)
S S
При заданном значении начальной скорости v0 дальность полета зависит от угла а. Наибольшая дальность полета достигается при a = 45°, так как в (7) sin 2а при этом принимает свое максимальное значение, равное единице.
Из формулы (7) следует, что любая дальность полета, меньшая максимальной дальности vfi/g, получается при двух значениях угла а, дополняющих
Рис. 50. Настильная (1) и навесная (2) траектории, проходящие через одну и ту же точку
друг друга до 90°. Значению угла ctj, меньшему 45°, соответствует пологая траектория, называемая настильной, а углу а2, симметрично отклоняющемуся от 45° вверх, — крутая траектория, называемая навесной (рис. 50).
3. Полет над склоном. Камень бросают со склона горы с начальной скоростью v0, направленной под углом а к склону горы, образующему угол Р с горизонтом. На каком расстоянии I вдоль склона от точки бросания упадет камень?
64
I. КИНЕМАТИКА
Решение. Движение камня по-прежнему описывается уравнением (5), но соответствующий ему треугольник векторов уже не будет прямоугольным (рис. 51). Вектор г, соответствующий моменту падения, направлен вдоль склона горы в конечную точку А, вектор vrf направлен вдоль v0, вектор gt2/2 — вертикально вниз и заканчивается в точке А. Чтобы установить соотношение между сторонами этого треугольника, опустим из его вершины В перпендикуляр на сторону ОА, соответствующую склону горы. Выражая
высоту ВС треугольника через гипотенузы двух примыкающих к ней прямоугольных треугольников, приходим к равенству
t>(/ sin а = -у cos р, откуда находим время полета (:
I — sin а
g cos(3'
Если подставить найденное значение t в v0t и gt2/2, то получим значения модулей соответствующих векторов, т. е. длины сторон ОВ и ВА рассматриваемого треугольника. Теперь искомое расстояние I вдоль склона горы можно найти как сумму длин отрезков ОС и СА, выразив их как катеты соответствующих прямоугольных треугольников. После простых преобразований получаем
Рис. 51. Результируюущее перемещение г как сумма векторов v0f и gf2/2
/ = -
2vi
о sin а g cos (3
cos a + ¦
sin a sin _ 2uj sjn a cos p g cos2 p
cos (a — P).
Видно, что при (3 = 0 значение I переходит в найденное в предыдущей задаче значение дальности полета по горизонтали (7). Другой предельный случай, допускающий непосредственную проверку правильности ответа, — это а = л/2 + р, что соответствует бросанию камня вертикально вверх. При этом cos (a — |3) = 0, что дает / = 0 — камень упадет в ту же точку.
Задачи для самостоятельного решения
1. Мячик падает отвесно без начальной скорости на наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, и упруго отражается от нее (при
упругом ударе мячик отражается от плоскости подобно лучу света, сохраняя модуль своей скорости). На каком расстоянии I вдоль плоскости от точки отражения мячик снова ударится о наклонную плоскость, если из начальной точки до плоскости он пролетел расстояние Л?
2. Камень брошен со склона горы с некоторой начальной скоростью, направленной под углом а к склону, образующему угол Р с горизонтом. На каком расстоянии 1 вдоль склона от точки бросания упадет камень, если известно, что он пролетает через точ-
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
65
ку А, положение которой задано высотой h над склоном горы и расстоянием s вдоль склона от начальной точки (рис. 52)?
• Приведите соображения, подтверждающие справедливость уравнений (3) и (4). Сформулируйте условия их применимости.
• При каком направлении начальной скорости дальность полета брошенного тела будет наибольшей? Обеспечит ли такое направление начальной скорости наибольшую дальность при броске из точки, находящейся на некоторой высоте над землей?
• Что такое настильная и навесная траектории?
д Векторные формулы при a=const. Из определения скорости как производной радиуса-вектора по времени:
следует, что приращение радиуса-вектора г(t) за промежуток времени от 0 до t может быть выражено через \(t) с помощью определенного интеграла:
t
Дг = г —г 0=^v(t)dt. (8)
о
При движении с постоянной скоростью v = const формула (8) дает
г = г0 = vt. (9)
В случае равноускоренного движения, когда v = v0 + at, вычисление интеграла в формуле (8) дает
^ 2 r = r0 +j(v0 + aO й = г0 + у0/ + у. (10)
о
В случае неравномерного движения с произвольным ускорением а(0 = dv/dt для приращения скорости за промежуток времени от 0 до t можно написать
