Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи для самостоятельного решения
I. Между целью и минометом, находящимися на одной горизонтали, расположена тонкая стена высотой h. Расстояние от миномета до стены
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
73
/i, а от стены до цели — 1г. Определите минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять?
2. На какое максимальное расстояние можно бросить теннисный мяч в спортивном зале высотой h = 8 м, если начальная скорость мяча v0 = 10 м/с? и0 = 20 м/с? Под каким углом следует бросать мяч?
3. Найдите радиус кривизны параболической траектории в ее высшей точке, учитывая, что вектор ускорения там направлен по нормали к траектории. Начальная скорость v0 направлена под углом а к горизонту.
4. С какой минимальной начальной скоростью можно бросить мячик, чтобы он смог перелететь через ангар с плоской крышей? Высота ангара h = 6 м, ширина / = 10 м.
• Почему траектория движения частицы с постоянным ускорением представляет собой плоскую кривую? Как расположена в пространстве плоскость, в которой лежит траектория?
• Сформулируйте правило нахождения проекции вектора на ось системы координат. В каком случае проекция будет положительной? отрицательной? равной нулю?
• В какой точке параболической траектории тела, брошенного под углом к горизонту, его скорость минимальна?
• Требуется попасть в цель, находящуюся на высоте h и расстоянии / от точки бросания. На первый взгляд кажется, что требуемая начальная скорость будет наименьшей, если высшая точка траектории совпадает с целью. Опровергните это утверждение.
д Нахождение экстремумов. Нахождение координат вершины траектории можно выполнить с помощью известных правил исследования функции на экстремум на основе дифференциального исчисления. Положение максимума функции ^(х), задаваемой выражением (6), определяется приравниванием нулю производной у\х) по х. Вычисляя эту производную, имеем
откуда для х получаем значение, даваемое формулой (9).
Аналогично можно поступать и в других случаях, где требуется нахождение экстремальных значений. Например, для определения минимального значения начальной скорости v0, обеспечивающей попадание в цель, находящуюся на высоте h и расстоянии I, следует выразить из (12) как функцию
переменной z — tg а, продифференцировать функцию (z) по z и приравнять производную нулю. Рассматривать следует только ту область значений z, где > 0, т. е. z > h/s. При этом получается квадратное относительно z уравнение, у которого один
74
I. КИНЕМАТИКА
из корней (положительный) дает направление начальной скорости, при котором ее модуль минимален. Второй корень физического смысла не имеет.
Обратимость движения. Используя представление о траектории, можно конкретизировать смысл обратимости механического движения, о которой упоминалось еще в самом начале при обсуждении свойств симметрии пространства и времени.
Рассмотрим движение частицы в заданном силовом поле, когда ее ускорение в каждой точке имеет определенное значение, не зависящее от скорости. Каким будет движение этой частицы, если в какой-либо точке ее траектории изменить направление скорости на противоположное? Математически это эквивалентно замене t на —t во всех уравнениях. В уравнение траектории время не входит, и частица будет двигаться «вспять» по той же самой траектории. Более того, промежутки времени между прохождением двух любых точек траектории будут одинаковы как при прямом, так и при обратном движении. Каждой точке траектории соответствует определенное значение модуля скорости частицы независимо от направления движения по данной траектории.
Указанные свойства особенно наглядны для совершающего колебания маятника.
Все это справедливо, разумеется, лишь тогда, когда можно пренебречь трением — сопротивлением движению. Другими словами, обратимость движения имеет место тогда, когда выполняется закон сохранения механической энергии.
Задача
Обратимость движения. Стальной упругий шарик свободно падает без начальной скорости с некоторой высоты Я. На какой высоте h и под
каким углом а к горизонту следует подставить мраморную плиту (рис. 56), чтобы упруго отскочивший от нее шарик улетел как можно дальше по горизонтали? Чему равна эта максимальная дальность?
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
75
Решение. Эту задачу можно решить вообще практически без всяких расчетов, если воспользоваться обратимостью механического движения. Будем рассуждать следующим образом. Пусть мы нашли такие значения Л и а, при которых горизонтальная дальность полета отскочившего шарика оказалась максимальной. Скорость шарика в момент падения на землю равна 'FTgH и не зависит от значения Л и а. (Проще всего это увидеть, учитывая закон сохранения энергии.) Если в точке падения шарика на землю направление его скорости изменить на противоположное, то он проделает весь свой полет в обратном направлении и после отражения от плиты поднимется на прежнюю высоту. Естественно, что и в этом обращенном движении дальность его полета по горизонтали будет наибольшей. Но мы знаем, что наибольшая горизонтальная дальность полета при данной начальной скорости получается, если ее направление составляет угол 45° с горизонтом при условии, что точка падения находится на одном горизонтальном уровне с начальной точкой. При более высоком расположении точки падения
