Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Особенности физики колебаний. Остановимся на некоторых характерных моментах, связанных с физикой колебательных явлений. Возьмем конкретный пример, скажем струну гитары. Нас могут интересовать сила натяжения струны или скорости различных ее точек в определенный момент времени. Такая постановка задачи типична для динамики. Физика колебаний меняет эту постановку вопроса.
268
IV. колебания и волны
Для нее типичен интерес не к тому, что происходит в данный момент в данном месте, а к общему характеру процесса, взятого в целом за большое время.
Пусть, например, струна издает звук «фа». Этот звук определяется не положением и скоростью точек струны в данный момент, а характером зависимости этих величин от времени. Можно, например, с помощью микрофона превратить этот звук в электрический сигнал и наблюдать его на экране осциллографа. Важно сознавать, что звук, издаваемый струной, определяется формой всей этой кривой в целом. Хотя и говорят: «В данный момент я слышу звук «фа», в действительности дело обстоит не так. Те доли секунды, в течение которых в ухе создается ощущение тона «фа», охватывают большое число максимумов и минимумов этой кривой.
Для физики колебаний характерно рассмотрение процесса в целом, т. е. за время, охватывающее большое число периодов. В физике колебаний особенно ясно проявляется различие между линейными явлениями, для которых справедлив принцип суперпозиции, и нелинейными явлениями, в которых отклик системы не пропорционален оказанному воздействию. Если в линейных системах возможно одновременное протекание сразу нескольких колебательных процессов, не оказывающих никакого влияния друг на друга, то в нелинейных системах взаимодействие таких процессов приводит к качественно новым явлениям. Например, одновременное возбуждение двух колебаний с разными частотами в нелинейной системе приводит к возникновению колебаний на кратных, суммарных и разностных частотах.
§ 41. Собственные колебания
Возьмем простейшую систему, в которой возможны механические колебания. Пусть на пружине жесткости к подвешен груз массы т. Рассмотрим вертикальное движение груза, которое будет происходить под действием силы упругости пружины и силы тяжести, если вывести систему из состояния равновесия и предоставить самой себе.
Простейший осциллятор. Будем считать, что масса пружины настолько мала, что ее можно не учитывать при описании колебаний. Поместим начало отсчета на направленной вниз оси х в точку, соответствующую равновесному положению груза (рис. 158). В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину Ь, определяемую соотношением
mg = kb. (1)
При смещении х груза из положения равновесия проекция действующей на тело со стороны пружины силы упругости равна
<j 41. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
269
—к(х + b) в соответствии с законом Гука. Обозначим проекцию ускорения груза а, равную второй производной смешения л: по времени, через х. Тогда второй закон Ньютона для груза запишется в виде
тх = —к{ х + b) + mg. (2)
С учетом (1) это уравнение переписывается следующим образом:
тх = —кх. (3)
Введем обозначение
к
“о = -
(4)
Теперь уравнение движения (3) принимает окончательный вид:
х + а>1х = 0. (5)
Рис. 158. Положение равновесия и колебания груза на пружине
К точно такому же уравнению мы придем, рассматривая малые колебания
около положения равновесия самых разных физических систем: математического маятника — материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити (рис. 159а), физического маятника — любого твердого тела, которое может поворачиваться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 1596), крутильного маятника — диска или коромысла, подвешенного на упру-
Рис. 159. Разные типы осцилляторов: а — простой (математический) маятник; б — физический маятник; в — крутильный маятник (диск на упругой нити)
гой нити (рис. 159б), и т. д. При этом под д: в каждом случае следует понимать соответствующую величину, характеризующую отклонение от равновесия: угол ф отклонения от вертикали математического или физического маятника, угол •& закручивания упругого подвеса крутильного маятника и т. д.
270
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания. Колебания в любой физической системе, описываемые уравнением (5), происходят по синусоидальному закону и называются гармоническими, а любая совершающая такие
колебания физическая система — гармоническим осциллятором. Решение дифференциального уравнения (5) имеет вид (рис. 160)
x(t) = A cos (<a0t + а), (6)
где А и а — произвольные постоянные: при любых значениях А и а функция (6) удовлетворяет уравнению (5). Величина А характеризует максимальное отклонение системы от равновесия и называется амплитудой колебаний.
Частота и период. Поскольку косинус — периодическая функция, смещение х принимает одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, называемые периодом колебаний Т. Наряду с периодом Т для характеристики колебаний используют также обратную величину v = 1/Г, называемую частотой. Частота измеряется в герцах. Герц (Гц) — частота колебания, период которого равен одной секунде. Величина ш0 называется циклической частотой колебаний. Она связана с периодом Т и частотой v соотношением
