Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
vA = v + со/? = 2шЛ,
так как при качении без проскальзывания v = a>R. Точки оси цилиндра движутся прямолинейно; точки поверхности цилиндра — по циклоидам; точки, находящиеся между осью и поверхностью, — по трохоидам.
Вращение вокруг точки. Пример вращения вокруг неподвижной точки — качение без проскальзывания конуса В по поверхности неподвижного конуса А, имеющего с ним общую вершину О (рис. 153). Такое движение можно представить либо как чистое вращение конуса В с угловой скоростью to вокруг мгновенной оси, проходящей по линии касания, либо как сумму двух вращений: с угловой скоростью со0 вокруг собственной оси и с угловой скоростью S2 вокруг оси неподвижного конуса А:
ш = ш0 + Я. (2)
Это значит, что скорость любой точки Рис. 153. Качение конуса в по катящегося конуса определяется по фор-
поверхности конуса А муле (1), в которую можно подставить
to из (2). Точки оси подвижного конуса
движутся по окружностям, а не лежащие на оси точки описывают
сложные волнообразные траектории.
§ 40. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
263
Момент импульса. В динамике твердого тела наряду с импульсом важную роль играет физическая величина, называемая моментом импульса. Для материальной точки момент импульса L определяется как векторное произведение радиуса-вектора г частицы на ее импульс р = mv:
L = г х mv. (3)
Из этого определения и второго закона Ньютона dp/dt = F следует, что закон изменения момента импульса частицы имеет вид
где М — момент суммы всех действующих сил F:
М = г х F. (5)
Динамика твердого тела. Основные положения динамики абсолютно твердого тела приводятся ниже без доказательства. Основу динамики твердого тела составляют законы изменения импульса Р и момента импульса L тела, рассматриваемого как система материальных точек:
/
i
Импульс Р и момент импульса L тела складываются из импульсов и моментов импульса отдельных материальных точек, на которые можно мысленно разбить твердое тело. Шесть независимых уравнений (6) и (7) соответствуют шести степеням свободы твердого тела.
Если все внешние силы F; известны, то уравнение (6) позволяет найти закон движения центра масс тела, а (7) — закон вращения тела вокруг центра масс.
Вращение твердого тела вокруг фиксированной оси, как уже отмечалось, характеризуется одной степенью свободы. В этом случае проекция уравнения момента импульса (7) на направление оси вращения не содержит неизвестных сил реакции в подшипниках, что позволяет найти угловое ускорение тела da>/dt.
Момент инерции. Проекцию момента импульса на ось вращения, как следует из (3), можно представить в виде /ш, где / — момент инерции тела относительно оси, складывающийся из моментов инерции отдельных его элементов, равных произведению массы элемента Дот, на квадрат расстояния rt до оси:
/ = ^Ат/?. (8)
264
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения (рис. 154). Момент инерции обруча или тонкостенной трубы относительно ее оси равен
/ = mR2,
так как все элементы Ami находятся на одинаковом расстоянии R от оси. Момент инерции сплошного однородного диска или цилиндра равен
однородного шара
I = | mR2,
однородного стержня длины I относительно перпендикулярной стержню оси, проходящей через его середину,
1 = Т2т12-
Момент инерции / относительно проходящей через центр масс оси связан с моментом инерции /’ относительно другой параллельной оси, отстоящей на расстояние I (рис. 155), соотношением
/' = / + ml2. (9)
Поясним применение уравнения моментов (7) на следующем простом примере. На массивный барабан радиуса R, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, намотана невесомая нить (рис. 156). К нити приложена сила F. Момент импульса L барабана относительно оси О равен /со. Момент силы F относительно оси О равен RF. Проекция уравнения моментов (7) на ось О принимает вид
r dm „ „ ,, „ч
§ 40. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
265
Угловое ускорение барабана пропорционально моменту силы F и обратно пропорционально моменту инерции I. Силу реакции Q под-
Рис. 155. Моменты инерции относительно параллельных осей
Рис. 156. Раскручивание массивного барабана
шипников, действующую на ось барабана, можно найти из (6), учитывая, что ускорение центра масс равно нулю: Q — mg + F.
Кинетическая энергия. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, может быть представлена в виде
EK = \l<x>\ (11)
