Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 140. Силы реакции, действующие на доску, лежащую на двух (а) и на трех (6) опорах
двум уравнениям для трех неизвестных величин. Такие системы носят название статически неопределимых. Для их расчета необходимо учитывать упругие свойства тел.
Приведенный пример показывает, что применимость модели абсолютно твердого тела в статике определяется не столько свойствами самого тела, сколько условиями, в которых оно находится. Так, в рассмотренном примере даже тонкую соломинку можно считать абсолютно твердым телом, если она лежит на двух опорах. Но даже очень жесткую балку нельзя считать абсолютно твердым телом, если она лежит на трех опорах.
Условия равновесия. Условия равновесия абсолютно твердого тела представляют собой частный случай динамических уравнений, когда ускорение отсутствует, хотя исторически статика возникла из потребностей строительной техники почти на два тысячелетия раньше динамики. В инерциальной системе отсчета твердое тело находится в равновесии, если векторная сумма всех действующих на тело внешних сил и векторная сумма моментов этих сил равны нулю.
При выполнении первого условия равно нулю ускорение центра
масс тела. При выполнении второго условия отсутствует угловое ускорение вращения. Поэтому если в начальный момент тело покоилось, то оно будет оставаться в покое и дальше.
В дальнейшем мы ограничимся изучением сравнительно простых систем, в которых все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное условие
2F, = o (1)
i
сводится к двум скалярным:
2 Fix = о- 2^у = 0’ (2)
i i
§ 39. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
253
если расположить оси хиув плоскости действия сил. Некоторые из входящих в условия равновесия (1) действующих на тело внешних сил могут быть заданы, т. е. их модули и направления известны. Что же касается сил реакции связей или опор, ограничивающих возможное перемещение тела, то они, как правило, заранее не заданы и сами подлежат определению. В отсутствие трения силы реакции перпендикулярны поверхности соприкосновения тел.
Силы реакции. Иногда возникают сомнения в определении направления силы реакции связи, как, например, на рис. 141, где изображен стержень, опирающийся в точке А о гладкую вогнутую поверхность чашки и в точке В на острый край чашки.
Для определения направления сил реакции в этом случае можно мысленно немного подвинуть стержень, не нарушая его контакта с чашкой. Сила реакции будет направлена перпендикулярно поверхности, по которой скользит точка контакта. Так, в точке А действующая на стержень сила реакции
перпендикулярна поверхности чашки, а в точке В — перпенди-
кулярна стержню.
Момент силы. Моментом М силы F относительно некоторой точки
О называется векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного из О в точку приложения силы, на вектор силы F:
М = г X F. (3)
Вектор М момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы г и F.
Уравнение моментов. Если на тело действует несколько сил, то второе, связанное с моментами сил условие равновесия записывается в виде
?r,.xF, = 0. (4)
i
При этом точка О, из которой проводятся радиусы-векторы г;, должна выбираться общей для всех действующих сил.
Для плоской системы сил векторы моментов всех сил направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, если моменты рассматриваются относительно точки, лежащей в этой же плоскости. Поэтому векторное условие (4) для моментов сводится к одному скалярному: в положении равновесия алгебраическая сумма моментов всех внешних действующих сил равна нулю. Модуль момента силы F относительно точки О равен произведению модуля си-
Рис. 141. К определению направления сил реакции
254
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
лы F на расстояние от точки О до линии, вдоль которой действует сила F. При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки — с противоположным. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил, производится исключительно из соображений удобства: уравнение моментов будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.
Пример равновесия. Для иллюстрации применения условий равновесия абсолютно твердого тела рассмотрим следующий пример. Легкая лестница-стремянка состоит из двух одинаковых частей, шарнирно соединенных вверху и связанных веревкой у основания (рис. 142). Определим, какова сила натяжения веревки, с какими силами взаимодействуют половинки лестницы в шарнире и с какими силами они давят на пол, если на середине одной из них стоит человек весом Р.
Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел — половинок лестницы, и условия равновесия можно применять как для
