Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Л = Л0ехр(-70, (10)
где А0 — начальная амплитуда колебаний. Зависимость амплитуды от времени показана штриховой линией на рис. 167.
Время жизни колебаний. Как видно из (10), амплитуда убывает в е раз за время т, равное I/7, независимо от начального значения амплитуды. Это время т носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из формулы (10), колебания продолжаются бесконечно долго. Использованное нами предположение о малости затухания означает, что время жизни колебаний т велико по сравнению с периодом Т: т:»Т. Другими словами, за время т происходит большое число колебаний. Отметим, что в данном случае движение, строго говоря, не является периодическим. Под периодом колебаний Т здесь условно понимают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от равновесия.
Фазовая траектория. Фазовая траектория затухающего колебания при наличии трения, пропорционального скорости, приведена на рис. 168. Она представляет собой незамкнутую кривую — спираль, закручивающуюся вокруг начала координат. При малом затухании, когда осциллятор за время жизни т успевает совершить большое число колебаний, такое же число витков накручивает спираль на фазовой плоскости.
Затухание колебаний влияет и на период, приводя к его возрастанию по сравнению с периодом свободных колебаний в той же системе. Однако при малом затухании увеличение периода колебаний очень мало. При сильном затухании ко- Рис. 168. Фазовая траектория лебаний вообще может не быть: выведен- затухающего осциллятора ная из равновесия система вследствие
большого трения будет апериодически, т. е. без осцилляций, приближаться к положению равновесия. Так будет при у > со0.
Точное решение. Уравнение затухающих колебаний (4) имеет точное решение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид
x(t) = А0 ехр (—yt) cos (cOj< + a), coj = VcOq — у1, 00
282
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
где А0 и а — произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании, когда 7«со0, частота практически совпадает с частотой свободных колебаний со0, а стоящий перед косинусом множитель А0 exp (—yt) можно рассматривать как медленно меняющуюся со временем амплитуду колебаний.
Экспоненциальный характер затухания колебаний связан с тем, что вызывающая это затухание сила трения пропорциональна скорости. При другой зависимости силы трения от скорости закон затухания колебаний будет иным.
Сухое трение. Рассмотрим случай сухого трения, когда от скорости зависит только направление силы трения, а ее модуль практически постоянен. Пусть на горизонтальный стержень насажен просверленный по диаметру шар массы т, прикрепленный к пружине жесткости к (рис. 169). Си-
Рис. 169. Осциллятор с сухим трением да трения> равная направле_
на в сторону, противоположную скорости к. Поэтому уравнение движения шара записывается следующим образом:
тх = —кх — \xrng при к > 0, ^
т'х = —кх + |xmg при к < 0.
Таким образом, для нахождения движения шара необходимо решать два уравнения, которые сменяют друг друга, когда меняется направление движения шара, т. е. знак проекции скорости к. Пусть в начальный момент шар смещен из положения равновесия влево на некоторое расстояние А, а скорость его равна нулю. Если при этом упругая сила пружины меньше, чем максимально возможное значение силы трения покоя \xmg, то шар будет оставаться в покое и дальше.
Область застоя. Итак, вблизи положения равновесия * = 0, соответствующего ненапряженной пружине, существует область «застоя» шириной 2|xmg/k, в любой точке которой шар может находиться в покое. Если же начальное смещение сдвинутого влево шара А больше, чем \xmg/k, то отпущенный шар начнет двигаться направо и его движение будет определяться первым из уравнений (12). Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой со0 = у/к/т. Наличие постоянной силы в правой части этого уравнения, не меняя частоты колебаний, приводит к сдвигу положения равновесия (вспомним, что в разобранном выше примере колебаний груза на пружине в поле тяжести колебания происходят
§ 42. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
283
с той же частотой, что и в невесомости, но около нового положения равновесия).
Записывая первое из уравнений (10) в виде
тх = —к{х — х0), (13)
находим, что сдвиг положения равновесия х0, т. е. средней точки, относительно которой происходят описываемые этим уравнением колебания, равен
JLUng
*о~ к ¦
Так как х0 < 0, то положение равновесия смещено влево. Оно совпадает с левой границей области застоя. После того как шар дойдет до крайнего правого положения и его скорость обратится в нуль, он начнет двигаться налево, проекция скорости x станет меньше нуля и движение шара будет определяться вторым из уравнений (12). Это уравнение, в свою очередь, описывает гармонические колебания с той же частотой со0, происходящие около другого положения равновесия, сдвинутого относительно точки х — 0 на то же расстояние в противоположную сторону. После того как шар придет в крайнее левое положение, дальнейшее его движение будет снова описываться первым из уравнений (12) и т. д.
