Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
0 г_^
-V
Рис. 134. Шарик, упруго отражающийся от стенок, и его фазовая траектория
§ 38. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
243
направление у стенки. Фазовая траектория движения шарика радиуса г показана на нижней части рис. 134. Она представляет собой прямоугольник, верхняя горизонтальная сторона которого соответствует движению шарика с постоянной скоростью v на всем интервале от левой стенки до правой, а нижняя — обратному движению от правой стенки до левой, когда проекция скорости равна —у. Вертикальные стороны фазовой траектории соответствуют изменению скорости при неизменном значении координаты от v до —у у правой стенки и от —v до v у левой. Изображающая механическое состояние шарика точка обходит фазовую траекторию в направлении по часовой стрелке. По горизонтальным участкам фазовой траектории эта точка движется равномерно, а вертикальные проскакивает мгновенно в соответствии с выбранной моделью упругого удара о стенки.
Другой пример — шарик, свободно падающий в поле тяжести и упруго отражающийся от горизонтальной плиты. При пренебрежении потерями механической энергии шарик будет совершать периодическое движение, поднимаясь до некоторой высоты и свободно падая обратно. Период движения шарика зависит от максимальной высоты подъема h, которая определяется начальными условиями, и равен, очевидно, суммарному времени падения и подъема, т. е. 2V2h/g. Зависимость скорости шарика от его высоты z проще всего найти с помощью закона сохранения энергии:
-Y~ + mgz = mgh, (О
откуда для v{z) получаем
v(z) = ± V2g(h — z). (2)
Два знака перед квадратным корнем соответствуют движению шарика вверх и вниз.
Фазовая траектория этого движения, изображенная на рис. 135, состоит из вертикального участка, соответствующего мгновенному изменению направления скорости шарика при ударе о плиту, и части параболы с горизонтальной осью симметрии, определяемой уравнением (2). Для удобства начало отсчета высоты z шарика выбрано на уровне г над плитой, где г — радиус шарика. Точка, изображающая механическое состояние шарика, движется по фазовой траектории по часовой стрелке. На верхней ветви параболического участка изображающая точка замедляется, что соответствует уменьшению скорости шарика по мере его подъема, а на нижнем — разгоняется. Вертикальный участок фазовой траектории изображающая точка проскакивает мгновенно.
Рис. 135. Фазовая траектория шарика, отскакивающего от горизонтальной упругой плиты в поле тяже-
244
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Фазовая траектория и потенциальная энергия. Уравнение фазовой траектории консервативной системы фактически представляет собой уравнение закона сохранения энергии. В данном случае, например, зависимость v(z), выражаемая соотношением (2), была получена из (1). Так как в выражение для механической энергии системы входит слагаемым ее потенциальная энергия En(z), то интересно сопоставить фазовую траекторию с графиком потенциальной энергии (рис. 136).
В верхней части рисунка приведен график потенциальной энергии шарика. Этот график представляет собой «потенциальную яму», состоящую из наклонной правой стенки, соответствующей линейному увеличению потенциальной энергии в одно-fv\c. ljo. 1 рафик потенциальной энер- рОДНОМ ПОЛе тяжести С ВЫСОТОЙ,
гии и фазовая траектория для шарика в и вертикальной левой стенки, СО-
поле тяжести, отскакивающего от гори- ответствующей выбранной моде-
зонтальной упругой плиты ли упругого отражения шарика
от горизонтальной плиты. Эта ветвь графика Еп соответствует потенциальной энергии упругой деформации. Она получается вертикальной при бесконечно большой жесткости (модуле Юнга) деформируемого материала. На графике потенциальной энергии отложено также значение полной механической энергии Е = mgh.
На нижней части рисунка показана фазовая траектория движения шарика с таким значением полной энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках оси z, где потенциальная энергия становится равной полной энергии. Это границы движения с такой энергией, или точки поворота. В данном случае это точка z = h, соответствующая максимальной высоте подъема, и точка z = 0. За пределами этих точек движение при данной полной энергии Е = mgh невозможно.
Фазовая траектория дает наглядное представление о движении в целом, позволяя восстановить его полную картину. Фазовую траекторию, разумеется, можно построить, решив уравнения динамики и найдя функции x(t) и v(t). Но, как мы видели, ее можно построить, имея только выражение для механической энергии системы. Метод фазовых траекторий оказывается очень эффективным при изучении сложных движений, когда не удается получить аналитическое решение уравнений динамики.
§ 38. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
24i
Математический маятник. В качестве примера рассмотрим математический маятник — точку массы т, прикрепленную к конц> легкого жесткого стержня длины /, который может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой ее конец (рис. 137). Потенциальная энергия такой системы в поле тяжести зависит от угла ср отклонения стержня от вертикального равновесного положения. Ее можно записать в виде
