Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.3. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе тем меньше, чем больше затухание
10. Успокоение колебаний. Электродвигатель установлен на подставке, которая подвешена на нерастяжимых нитях длины I (рис. 10.1). Ротор его вращается с частотой со. Центр масс ротора двигателя не находится на его оси, поэтому подставка раскачивается в горизонтальном направлении. Для устранения этих нежелательных колебаний подставки можно поступить следующим образом. Подвесим рядом с подставкой груз массы т и соединим его с подставкой упру-
10. УСПОКОЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
369
гой пружиной (рис. 10.2). Тогда при определенной жесткости пружины k подставка с двигателем будет неподвижна, а груз будет совершать колебания. Почему так происходит и какой должна быть жесткость пружины &?
Д Допустим, что нам удалось подобрать такую пружину: подставка с двигателем остается неподвижной, несмотря на то что ротор двигателя вращается. Попробуем выяснить, при каких условиях это возможно. Подставка неподвижна, значит, все действующие на нее силы уравновешены, Ка-. кие же силы действуют на подставку?
\\ЧЧ\\\\\\\\\\\\\\^^^
Рис. 10.1. Подставка с электродвигателем подвешена на нитях
Рис. 10.2. Успокоение колебаний мотора с несбалансированным ротором с помощью комбинированного маятника
При вращении ротора его центр масс, не лежащий на оси, движется по окружности. Это значит, что действующая на ротор сила в каждый момент времени направлена к центру окружности, т. е. представляет собой постоянный по
модулю вектор, вращающийся с частотой ш. Эта сила F0
согласно второму закону Ньютона равна произведению массы ротора М на центростремительное ускорение wV:
F0=M(a2r, (1)
где г — расстояние от оси до центра масс ротора. Вертикальная проекция действующей на ротор силы изменяется со временем по гармоническому закону:
F1{t)=F0 sin iot. (2)
Благодаря этой силе периодически с частотой оз изменяется сила натяжения нитей, на которых подвешена подставка. Если амплитуда этой силы F0 не превосходит действующей на двигатель с подставкой силы тяжести Mig, то нити все время остаются натянутыми. Таким образом, подставка
370
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
не совершает перемещений по вертикали, если, как видно из формулы (1), выполнено условие
(3)
Выясним теперь, при каком условии подставка с двигателем не будет совершать и горизонтальных перемещений. Горизонтальная проекция действующей на ротор силы также изменяется по гармоническому закону:
F2(l)=FB cos соt. (4)
Согласно третьему закону Ньютона равная по модулю и противоположная по направлению сила действует со стороны ротора на статор двигателя и подставку. Именно благодаря этой синусоидальной силе подставка и совершала бы горизонтальные колебания в отсутствие груза т. с пружиной. Очевидно, что если в каждый момент времени действующая на подставку со стороны деформированной пружины сила будет уравновешивать силу, действующую со стороны ротора, то подставка с двигателем будет неподвижна.
Таким образом, действующая на подставку со стороны пружины сила должна быть равна силе Ft(t), выражаемой формулой (4), т. е. должна синусоидально зависеть от времени с той же самой частотой со. Так как упругая сила пружины пропорциональна ее деформации, т. е. смещению груза т. из положения равновесия (рис. 10.2), то движение груза т должно представлять собой гармоническое колебание с той же частотой со. Поскольку подставка с двигателем при этом неподвижна, то ясно, что частота со должна
быть частотой собственных колебаний комбинированного маятника с пружиной. Такой маятник был рассмотрен в задаче 3 этого раздела. Так как теперь к грузу т прикреплена одна пружина, а не две, то выражение для частоты собственных колебаний имеет вид
co2=g//+&/m. (5)
Отсюда определяется жесткость пружины, необходимой для успокоения колебаний подставки с двигателем, якорь которого вращается с круговой частотой ю:
/г=m(coa—glt)=m( со2—со'о). (6)
Из этой формулы видно, что добиться успокоения колебаний подставки таким способом можно только тогда, когда круговая частота ротора больше частоты со0 свободных ко-
11. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 371
лебаний математического маятника длиной /. Для успокоения низкочастотных колебаний, когда со<со0, пришлось бы подвешивать груз т на нити большей длины.
Итак, при вращении несбалансированного ротора подставка с двигателем неподвижна, а присоединенный к ней маятник совершает гармонические колебания. Легко найти амплитуду этих колебаний. Как видно из формулы (4), амплитуда колебаний х0 определяется из условия kx0~F0. Подставляя сюда F0 из формулы (1) и к из (6), находим
