Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Однако любой реальный источник тока (как, впрочем, и катушка индуктивности с соединительными проводами) обладает сопротивлением. Поэтому при происходящих процессах неизбежно выделяется теплота и энергетические превращения необратимы. Колебания в действительности будут затухающими (рис. 5.4), так что в конце концов напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника,
В реальной механической системе всегда присутствует трение. Поэтому и здесь неизбежно выделение теплоты, т. е. превращения механической энергии также необратимы. Колебания будут затухающими, и груз в конце концов установится в положении равновесия x—mg!k. ^
6. Двойной маятник. Точка подвеса А двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 6.1). Длина нижней нити равна /, масса нижнего шарика равна т, верхнего — М. Каким должен быть период колебаний точки подвеса А, чтобы верхняя нить все время оставалась вертикальной?
лением колебания заряда кон- Сё денсатора затухают
О
Рис. 5.4. В цепи с сопротив-
i
358
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Л Рассмотрим систему шариков т и М, соединенных нитью длины I. Допустим, мы подобрали такой период колебаний Т точки подвеса А, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить все время остается вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими словами, шары в любой момент
А
Рис. 6.1. Точка подвеса А совершает гармонические колебания с такой частотой, что верхняя нить все время остается вертикальной
А
Рис. 6.2. Если верхняя нить при колебаниях остается вертикальной, то центр масс шаров В не перемещается по горизонтали
времени движутся в противоположных направлениях, а отношение их ускорений обратно пропорционально отношению масс:
aJa2=Mltn. (1)
С другой стороны, непосредственно из рис. 6.2 видно, что ajci2=sl (/—s). (2)
Сравнивая (1) и (2), находим
S= 1 +m/M • (3)
Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку
7. ЧАСЫ НА ДЛИННЫХ ШНУРАХ
359
точка В (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближенно можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной s. Строго говоря, точка В совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.
Период колебаний математического маятника длиной s равен Т = 2nVsjg. Подставляя сюда s из формулы (3), получаем
' gO +Ш/М) '
Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена все время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити,— поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.
Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т. е. энергия к системе не подводится. ^
7. Часы на длинных шнурах. Часы массой М имеют маятник в виде невесомого стержня длиной I с точечной массой m на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 7.1)?
Л Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закрепленных на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.
Предположим, что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры все время вертикальными. Тогда, как и в предыдущей задаче,
360
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
все действующие на рассматриваемую систему — часы с маятником — внешние силы направлены по вертикали, ибо, кроме сил натяжения шнуров, действуют только силы тяжести корпуса часов и маятника. Значит, центр масс всей системы по горизонтали перемещаться не будет.
Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе,
Рис. 7.1. Часы на Рис. 7.2. Смещение груза маятника и длинных шнурах корпуса часов при колебаниях
