Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Hi),
Рис. 5.2. Зависимость заряда конденсатора и тока в цепи от времени
5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР С ИСТОЧНИКОМ ТОКА 355
Но в рассмотренной цепи кроме конденсатора и катушки индуктивности есть еще один элемент — источник питания. Благодаря источнику в такой цепи становится возможным возникновение колебаний даже в том случае, когда в начальный момент и заряд конденсатора, и ток в цепи равны нулю.
Поскольку в электрической цепи в начальный момент времени заряд конденсатора и ток равны нулю, то в механическом аналоге этой схемы в начальный момент пружина должна быть неде-формирована, а груз должен покоиться.
Остается только придумать, что может выполнить роль источника тока в механической системе: механический аналог источника должен привести систему в движение без начального толчка и должен продолжать действовать и дальше в процессе колебаний.
Нетрудно сообразить, что эту роль в механической системе может сыграть поле тяжести, если пружинный маятник расположить вертикально, подпереть груз подставкой так, чтобы пружина была педеформирована (рис. 5.3), а затем резко выдернуть подставку. Составим уравнение движения для такого маятника. Направим ось х вертикально вниз и будем отсчитывать смещение груза х от начального положения, в котором пружина недеформирована. Тогда проекция силы, действующей на груз со стороны пружины, равна —kx. Так как на груз действует еще и сила тяжести, то уравнение второго закона Ньютона имеет вид
ma=mg—kx. (12)
Обозначая ускорение пружины, т. е. вторую производную смещения по времени, через х и вводя обозначение a>l=k/m, перепишем уравнение (12):
х + (tiftx = g- (13)
Мы видим, что процессы в механической системе и в рассмотренной выше электрической цепи описываются одинаковыми уравнениями (13) и (3). Одинаковыми будут и начальные условия: отсутствию заряда конденсатора и тока в начальный момент времени в электрической цепи
Рис. 5.3. В начальный момент пружина не деформирована и груз неподвижен. Затем подставку выдергивают
356
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
(соотношения (8)) соответствуют равные нулю смещение груза и его скорость в момент выдергивания подставки:
Таким образом, рассматриваемая механическая система действительно представляет собой аналог электрической цепи, и все сопоставляемые в них друг другу величины изменяются со временем по одинаковому закону. Поэтому смещение груза x(t) дается формулой (11), в которую только вместо величины С? нужно подставить ее аналог в механической системе. Из сопоставления уравнений (3) и (13) ясно, что величину ?IL следует заменить на g, а величину ?C=?/Lal — на g/<ol=mg/k:
График зависимости x(t) изображается тем же рис. 5.2. Видно, что колебания груза происходят около значения x=mg!k, соответствующего статической деформации пружины под тяжестью груза, т. е. около положения равновесия системы в поле тяжести.
Интересно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при колебаниях в данной электрической цепи и в поставленной ей в соответствие механической системе. До замыкания ключа, пока заряд конденсатора и ток в катушке индуктивности равны нулю, электрическое поле в конденсаторе и магнитное поле в катушке отсутствуют, т. е. равны нулю соответствующие им энергии. Точно так же до выдергивания подставки в механической системе упругая потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза равны нулю. После выдергивания подставки груз под действием силы тяжести устремляется вниз, приобретая скорость и кинетическую энергию. Одновременно растет деформация пружины и связанная с ней упругая потенциальная энергия. После прохождения положения равновесия x=/nglk скорость и кинетическая энергия груза начинают убывать, и в крайней нижней точке х=2mg/k кинетическая энергия обращается в нуль. Упругая потенциальная энергия пружины En=kx2/2 достигает в этот момент наибольшего значения En=2m2g2/k. Весь этот запас упругой энергии пружина приобрела за счет работы силы тяжести. В самом деле, при опускании груза его потенциальная энергия в поле тяжести уменьшилась как раз на такую же величину mg-2mg/k. В течение следующей пй-
л;(0)=0, у(0)=0.
(14)
(15)
6. ДВОЙНОЙ МАЯТНИК
357
ловины периода происходит обратное превращение потенциальной энергии упругой деформации пружины в потенциальную энергию груза в поле тяжести.
Совершенно аналогичные превращения энергии происходят и в электрической цепи. В течение первой половины периода за счет работы, совершаемой источником тока, появляется энергия магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора, причем к концу этого промежутка времени вся эта энергия оказывается сосредоточенной в конденсаторе. В течение второй половины периода
происходят обратные превращения энергии, и вся энергия возвращается в источник тока. Очевидно, что это возможно только потому, что внутреннее сопротивление источника равно нулю. Другими словами, все процессы в источнике обратимы и прохождение заряда через него не связано с выделением тепла.
