Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
truaHx—mgau nm2r2=mg( 2аг—а1). (1)
С помощью рис. 8.3 радиусы окружностей Гг и га, по которым движутся шари-ки, легко связать с углами аг и аг:
Гг = 1<Хг, г1 = /(а1+а2). (2)
Подставляя г* и га в уравнения (1) и вводя обозначение
COft
-g/t,
(3)
получим систему уравнении для определения а-г и аг:
действующие на шарики в двойном маятнике
(ю2—ю;?) ccj + ю2а2 = 0, + (ю2 —2ю?) а3 = 0. (4)
Сразу видно, что система уравнений (4) имеет решение с*!=0 и аг=0, которое соответствует маятнику в положении равновесия. Но эта система имеет и ненулевые решения. Для их нахождения исключим, например, аг из этих уравнений. Тогда для ах получим уравнение
[(о2—со;;) (м2—2ш?)—ю2(о2] = 0.
(5)
Очевидно, что ненулевое решение а^фО может существовать только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Приводя в нем подобные члены, запишем это условие в виде
(O'
-4(o,j(o2 + 2(Ол =0.
(6)
Уравнение (6), являющееся условием существования ненулевых решений системы уравнений (4), определяет частоты
364
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
возможных круговых движении двойного маятника
<2 = ш20(2±К2). (7)
Мы видим, что круговые движения двойного маятника могут происходить с двумя разными частотами. Для того чтобы найти соотношение углов ах и а2, соответствующее каждому из этих движений, нужно подставить по очереди найденные значения частот в одно из уравнений (4). Подставим сначала, например, в первое из уравнений (4) корень со2 = со2 = со2(2—V2). После приведения подобных членов получаем
aJa2=V 2 (со2 = со? (2 — V 2)). (8)
Если бы мы подставили корень со^ во второе из уравнений (4), то получили бы точно такое же значение отношения ajat. Таким образом, уравнения (4) дают возможность определить не сами углы ах и а2, a только соотношение между ними. Это означает, что круговое движение двойного маятника с данной частотой возможно при разных значениях раствора конуса (но, разумеется, с определенным соотношением ajai).
Теперь подставим в первое из уравнений (4) другой корень со2 = co'J = ’со? (2 +V 2). Приведя подобные члены, для отношения углов отклонения нитей получим
aja2 = — К 2 (со2 = со* (2 + V 2)). (9)
Знак минус в этом отношении может означать только то, что при круговом движении двойного маятника нити отклонены от вертикали в противоположные стороны. Такое движение показано на рис. 8.4. О том, что оно возможно, тоже можно было догадаться заранее.
Таким образом, двойной маятник может совершать два вида круговых движений: движение с меньшей частотой сог происходит так, как показано на рис. 8.2, а движение с большей частотой со! — как показано на рис. 8.4. Каждому движению соответствует определенная конфигурация нитей. Все это легко наблюдать на опыте.
Каждому виду круговых движений двойного маятника соответствует свое нормальное колебание. Проецируя кру-
Рис. 8.4. Другое возможное движение двойного маятника
9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
365
говое движение на вертикальную плоскость, мы получаем картину соответствующего нормального колебания. Легко видеть, что при нормальном колебании двойного маятника
с частотой о) = со0 2— К2 = 0,77©0 движение шариков происходит в одинаковой фазе, причем отношение их амплитуд, как следует из формул (2), равно
rJr* = 1 + «1 /оса = 1 +V 2 = 2,41.
При нормальном колебании с частотой w = со0 у 2 + V 2 ~ = 1,85 ©0 шарики совершают колебания в противофазе, а отношение их амплитуд равно
| rJrt\ = V"2- 1-0,41.
У двойного маятника с различными длинами верхней и нижней нитей и различными массами шариков частоты нормальных колебаний и отношения амплитуд колебаний шариков будут иными, но качественно вся картина нормальных колебаний остается прежней.
Чтобы возбудить нормальные колебания двойного маятника, можно, например, отклонить нити от вертикали на углы <*! и аг, удовлетворяющие соотношениям (8) или (9), и отпустить шарики одновременно без начального толчка. Но нормальные колебания на опыте можно возбудить и иначе, используя явление резонанса. Для этого можно, взявшись за нить вблизи точки подвеса, осторожно раскачивать ее с частотой, близкой к частоте одного из нормальных колебаний. Амплитуда соответствующего нормального колебания быстро нарастает, если мы попадаем в резонанс. ^
9. Вынужденные колебания. Точка подвеса математического маятника длиной / движется под действием внешней силы в Торизонтальном направлении по закону x(t)= —х0 sin at. Найти установившиеся вынужденные колебания маятника.
Д Задача состоит в нахождении установившихся вынужденных колебаний маятника. При нахождении вынужденных колебаний будем пренебрегать трением, однако необходимо отчетливо представлять себе, что установление колебаний принципиально возможно лишь при наличии затухания. С одной стороны, мы собираемся решать задачу без учета сил трения, а с другой стороны, как только что отмечено, силы трения необходимы.
