Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности, т. е. при со^хво, амплитуда Ь, как видно из (4.10), стремится к нулю. При со=0, т. е. при действии постоянной внешней силы, величина Ь равна /0/со§. Если подставить сюда fo=Fo/m и cojj~k/m, получим bCT=F0/k. Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы F0¦ Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе 6рез находим, подставляя частоту С0рез из (4.12) в выражение (4.10):
6рез=-----(4.13)
Р 2yVc)§-т2 2VM°
Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания у. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе 6рез получается конечной. Интересно сравнить значение 6реэ со статическим смещением Ьст под действием-силы F0. Составляя отношение bve3/bCT, получим при малом затуханий
= •' <4-14)
Подставляя сюда со0=2л/Г. и учитывая, что 1/у*=х есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находим
^реэ Т
¦^7 = Я"Г-
Но т/Т есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний т. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.
- Формула (4.11) дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы 0 между внешней силой и смещением х(1) при вынужденных колебаниях. При со<^со0 значение tg 0 близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 4.2 маятник движется в та.кт с правым концом шатуна. Если со>со0,
338
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
то tg 0 стремится к нулю со стороны отрицательных значений, т. е. сдвиг фазы равен я, и смещение осциллятора происходит в противофаЗе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из формулы (4.11), смещение отстает по фазе от внешней силы на л/2. Вторая -из формул (4.9) показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью х (/), т. е. все время действует в направлении
Рис. 4.7. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных
колебаниях.
движения. Что именно так и должно быть, ясно и из интуитивных соображений.
Из этой же формулы (4.9) видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна соЬ. С помощью (4.10) получаем
Зависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 4,7. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при со=0, т. е. при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положения равновесия., и скорость
шЬ
А
2ъ
о
(4.15)
$5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 339
его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы (4.15) ¦ видно, что амплитуда скорости при со=0 обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении ^частоты внешней силы с частотой свободных колебаний со0.
Обратим внимание, что при изучении резонансных явлений в цепи переменного тока при действии синусоидального внешнего напряжения исследовались вынужденные колебания тока в цепи I~q, который является аналогом скорости х (а ие смещения х) в случае механических колебаний. Поэтому все сказанное в этом параграфе о скорости x(t) при вынужденных колебаниях справедливо и для тока / (/) в последовательном контуре, а все сказанное о смещении x(t) справедливо для заряда конденсатора q(t).
§ 5. Энергетические превращения при вынужденных колебаниях. Установление колебаний
Установившиеся вынужденные колебания под действием синусоидальной силы внешне очень похожи на собственные незатухающие колебания: они происходят по синусоидальному закону с неизменной амплитудой. Но, несмотря на внешнее сходство, это принципиально разные колебания. При свободных колебаниях энергия колебаний, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, постоянна, а средние значения кинетической и потенциальной энергий равны между собой. А как обстоит дело в случае синусоидальных вынужденных колебаний? Запишем выражение для энергии колебаний:
Е = у тхг + у kx2 =
= ~ ma2b2 sin2 (со/ — 0) -j- у kb2 cos2 (at — 0). (5.1)
Входящая в это выражение частота со определяется внешним воздействием и не зависит от характеризующих осциллятор величин k и т. Поэтому в отличие от случая свободных колебаний, где со„=klm и множители перед sin2(co0H-a) и cos2(co0/+a) в формуле (1.16) оказались одинаковыми, в формуле (5.1) это не так. Таким образом, полная энергия при установившихся вынужденных коле-
340
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
баниях непостоянна. На рис. 5.1 показана зависимость от времени кинетической, потенциальной и полной энергии осциллятора при установившихся вынужденных колебаниях в случае ?оС?о0. Все время идет переход энергии от источника внешнего воздействия в рассматриваемую систему и
