Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
323
косинусом множитель A0e~yt можно рассматривать как медленно меняющуюся со временем амплитуду колебаний.
Совершенно аналогично будет происходить затухание колебаний в контуре с сопротивлением, которые описываются уравнением (2.8).
Экспоненциальный характер затухания колебаний связан с тем, что вызывающая это затухание сила трения пропорциональна скорости.
При другой зависимости силы трения от скорости закон затухания колебаний будет иным.
Рассмотрим случай сухого трения, когда от скорости зависит только направление силы трения, а ее величина практически постоянна. Пусть на горизонтальный стержень насажен просверленный по диаметру шар массы т, прикрепленный к пружине жесткости /е (рис. 2.4). Сила трения, равная utng, направлена в сторону, противоположную скорости х. Поэтому уравнение движения шара записывается следующим образом:
mx = — kx — \img при х > 0, (0
[Z. 1 и)
тх =— kx + iimg при х < 0.
Таким образом, для нахождения движения шара необходимо решать два уравнения, которые сменяют друг друга, когда меняется направление движения шара, т. е. знак скорости х. Пусть в начальный момент шар смещен из положения равновесия влево на некоторую величину А, а скорость его равна нулю. Если при этом упругая сила пружины меньше, чем максимально возможное значение силы трения покоя \xnig, то шар будет оставаться в покое и дальше. Таким образом, вблизи положения равновесия х=0, соответствующего ненапряженной пружине, существует область «застоя» шириной 2j.lmg/k, в любой точке которой шар может находиться в покое. • Если же начальное смещение сдвинутого влево шара А больше, чем \imglk, то отпущенный шар начнет двигаться направо, и его движение будет определяться первым из уравнений (2.16). Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой со0 = |/klm. Наличие постоянной силы в правой части этого уравнения,
Н т
д
""A
i *
Рис. 2.4. Между шаром п стер:ь> нем — сухое трение.
324
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
не меняя частоты колебаний, приводит к сдвигу положения равновесия (вспомним, что в разобранном выше примере колебаний груза на пружине в поле тяжести колебания происходят с той же частотой, что и в невесомости, но около нового положения равновесия).
Записывая первое из уравнений (2.16) в виде
тх = — k{x—хй), (2.17)
находим, что сдвиг положения равновесия х0, относительно которого происходят описываемые этим уравнением колебания, равен
Так как хй<$, то положение равновесия смещено влево. После того как шар дойдет до крайнего правого положения
Рис. 2.5. График затухающих колебаний при сухом трении. Область застоя заштрихована.
и его скорость обратится в нуль, он начнет двигаться налево, л; станет меньше нуля и движение шара будет определяться вторым из уравнений (2.16). Это уравнение в свою очередь описывает гармонические колебания с той же частотой со0> происходящие около другого положения равновесия, сдвинутого относительно точки х=0 на ту же величину в противоположную сторону. После того как шар придет в крайнее левое положение, дальнейшее его
§ 2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
325
движение снова будет описываться первым из уравнений (2.16), и т. д. Зависимость смещения шара от времени x(t) показана на рис. 2.5. Сначала шар идет слева направо, чему соответствует отрезок синусоиды А В, изображающий незатухающие колебания около положения —\imglk. Движение справа налево изображается отрезком синусоиды ВС, соответствующим колебанию около положения (.imgik, и т. д. В результате чередования кусков синусоид, описывающих незатухающие колебания около двух чередующихся положений равновесия, получается кривая, описывающая затухающее движение. Очевидно, что рано или поздно скорость шара обратится в нуль в тот момент, когда он будет находиться внутри области застоя (точка Е на рис. 2.5), и на этом его движение прекратится. В отличие от затухающих колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости, здесь колебания полностью прекращаются через конечное время .
Наглядное представление о рассмотренных . колебаниях при наличии сухого трения можно получить и с помощью фазовой диаграммы (рис.
2.6). Начальное состояние изображается точкой А на оси х. Движению шара слева направо соответствует часть фазовой траектории А В, представляющая собой половину окружности, центр которой находится на оси х в точке —\imglk. Дальнейшему движению справа налево соответствует половина окружности ВС, центр которой находится в точке \imglk на оси х, и т. д. Вся фазовая траектория состоит из таких половинок окружностей с чередующимися центрами. Она обрывается в точке Е на оси х, как только достигает области застоя.
Рассмотренные особенности затухающих колебаний позволяют понять происхождение погрешностей у стрелочных измерительных приборов, связанных с успокоением их
