Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
^¦ = Flt(u — x)—kx0 (w-f-tOo-4 sin со,,/)- (6.8)
Подчеркнем, что dQ/dt всегда положительна, поскольку скорость ленты и больше амплитудного значения скорости (о0Л. Так, разумеется, и должно быть, так как при трении тепло может только выделяться.
Рассмотрим теперь, как происходит установление стационарного режима колебаний в изучаемой модели автоколебательной системы и чем определяется значение амплитуды. Начнем с наиболее простого случая: брусок в-начальный момент покоится в положении, соответствующем недеформированной пружине. Точка, изображающая такое начальное состояние, находится в начале координат на фазовой плоскости. Пусть скорость ленты.и настолько велика, что и>х0а>0. Сила трения начинает ускорять брусок, и его движение происходит, согласно уравнению (6.2), так же, как и при гармоническом колебании около точки х0¦ В течение первой четверти периода с момента начала движения скорость бруска растет, но все же вследствие
* в. АВТОКОЛЕБАНИЯ
353
условия и>х0а>0 не достигает значения, равного скорости ленты. Действительно, фазовая траектория этого движения представляет собой окружность с центром х0, проходящую через начальное состояние, т. е. через начало координат (рис. 6.2). Радиус этой окружности, равный ,г0, и представляет собой амплитуду автоколебаний А. Так как этот радиус, согласно условию и>х0(о0, меньше и/\в0, то скорость ленты больше амплитудного значения скорости бруска и сила трения все время направлена в одну сторону.
Пусть теперь скорость ленты такова, что и<.х0(о0. Теперь фазовая траектория на начальном участке движения бруска будет представлять собой окружность с центром в точке ,г0 только до тех пор, пока скорость бруска не сравняется со скоростью ленты и. Этому моменту соответствует точка В фазовой диаграммы на рис. 6.3. В этот момент проскальзывание прекращается, трение скольжения заменяется трением покоя и величина силы трения скачком падает до значения kxly равного силе натяжения пружины. Брусок движется вместе с лентой с постоянной скоростью и, растягивая пружину до тех пор, пока сила натяжения пружины kx не станет равной максимальному значению силы трения покоя \.img—kx0. С этого момента снова начинается проскальзывание, и фазовая траектория дальнейшего движения бруска представляет собой окружность с центром в точке ,г0. Ее радиус равен и/со0. Это и есть значение амплитуды А установившихся автоколебаний.
Такая «сшитая» из различных кусков фазовая траектория всегда соответствует тому, что движение тела па разных участках описывается разными уравнениями. В самом деле, движение на начальном участке ОВ происходит в соответствии с уравнением колебаний (6.2). На участке ВС, где сила трения покоя уравновешивает силу натяжения
пружины, уравнение движения имеет вид х=0, а его решение есть х=и. В дальнейшем движение снова описывается уравнением колебаний (6.2). На нижней части
"?
Рис. 6.2. Фазовая диаграмма в случае быстрого движения ленты (или малого коэффициента трения).
354
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
рис. 6.3 приведена зависимость смещения бруска от времени для рассмотренного случая.
Рассмотрим, как происходит установление колебаний при других начальных условиях. Пусть, например, находящемуся в точке х=0 бруску сообщается начальная
скорость, большая скорости ленты и. Такому начальному
состоянию соответствует точка В на рис. 6.4. В этом случае в начальный момент действующая на брусок сила трения скольжения направлена налево и уравнение движения имеет вид
тх— — kx—jimg. (6.9)
Это уравнение описывает гармоническое колебание с частотой
“• - Vw
около положения равновесия —х0, где *0=|imglk. Поэтому начальный участок фазовой траектории представляет собой часть окружности с центром в точке — х0. Как только скорость бруска уменьшится до значения, равного скорости ленты (точка С на рис. 6.4), сила трения скачком меняет направление на противоположное. Дальнейшее движение бруска представляет собой колебание около положения равновесия х0. На фазовой диаграмме ему соответствует часть окружности с центром в точке х0. В точке D, где скорость бруска снова станет
равна скорости ленты и, может произойти следующее.
Если точка D окажется правее точки—х0, то в этот момент трение скольжения заменится трением покоя, и дальше все будет происходить так же, как на рис. 6.3. Этот случай показан на рис. 6.4. Если же точка D окажется левее точки —х0, то сила трения скольжения опять скачком изменит направление, и фазовая траектория дальнейшего движения
Рис. 6.3. Фазовая диаграмма и график смещения в случае и<х0 со0.
§6. АВТОКОЛЕБАНИЯ
355
будет представлять собой часть окружности с центром в точке —х„. И так будет продолжаться до тех пор, пока фазовая траектория не попадет на прямую х—и в промежутке между точками —х0 и х0. После этого фазовая траектория, как и прежде, выйдет на ту же самую предельную окружность с центром в точке х0 и радиусом А = ико0.
