Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве следующего примера приведем отображение отрезка [0, 1] на себя с графиком, изображенным на рис. 7.37, а. Обратное ему отображение 71-1 двузначно, так что любому X соответствуют два различных значения х: Ху = gy (X) и х2 — g2 (х). Каждое из отображений Ту1 и 771 преобразует отрезок [0, 1] в себя. В силу этого, как и в предыдущем примере, отображение Т имеет бесчисленное множество всевозможных кратных неподвижных точек.
Конкретизируем вид этого точечного отображения. Пусть его уравнение записывается в виде
Ж= 1 — 4 (аг —
(7.44)
280
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
Тогда обратные отображения легко находятся п имеют
вид
х =-jr±(l - ж)1'*.
Отображение (7.44) преобразует отрезок [0, 1] на себя, имеет бесконечное число различных кратных неподвижных точек, однако, как можно обнаружить, все эти неподвижные точки неустойчивые. Действительно, согласно (7.44) dx/dx = —8 (х — V2) и поэтому | dx/dx j 1 при I х — */2 | < V8 и | dx/dx | > 1 при | х — V2 | > Vg. Цикл m-кратных неподвижных точек х1, х2, . . ., хт устойчив или неустойчив в зависимости от того, меньше или больше единицы произведение
dx dx dx
dx x=xl dx х=хг dx x=xm
Покажем, что эта величина всегда больше единицы. Если все сомножители этого произведения более единицы, то утверждение очевидно. Поэтому осталось рассмотреть случай, когда по крайней мере один из сомножителей (можно
Рис. 7.37
считать, что первый) меньше единицы. Если j dxklx
1,
<С -о- • Рассмо-
О и
то | а; — V2 | 1/8. Поэтому)^ |
трим последовательность (рис. 7.37, а) х1, х2, х3, ... и пусть в этой последовательности 0 < х2, . . ., Xs ¦< 3/8,
а > %• Тогда 4?24s_1 3/8 и
dx 1 dx
dx |x-=x* ’ dx X=X"‘
^>8^3S2. Используя первое из неравенств, из второго
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
281
находим, что
s
Таким образом, за каждым множителем, меньшим единицы, следует некоторое число множителей, больших единицы, и при этом их общее произведение больше единицы. Это доказывает неустойчивость всех неподвижных точек. Однако из этого вытекает и более общее утверждение о локальной неустойчивости любой последовательности точек
/у>1 /м2 _ T/wl /у>3 . 7тл«2
и/ , \А/ ' х и/ , iAs " ' ' JL tv
Из изложенного следует, что поведение последовательностей точечного отображения (7.44) весьма сложно и разнообразно. Описать его, опираясь на какие-то отдельные траектории, нельзя, поскольку все эти последовательности неустойчивые. Однако для всей совокупности последовательностей возможно статистическое описание. Проиллюстрируем эту возможность для графика точечного отображения, изображенного на рис. 7.37, б. Для того чтобы естественно прийти к статистическому описанию, допустим, что начальная точка не задана точно, а задано некоторое распределение вероятностей ее положения с помощью плотности вероятности ф (х). Чем точнее задание начального значения х, тем острее плотность распределения вероятностей. Плотности вероятности ф (х) в виде S-функции соответствует точное задание начального значения.
Распределение плотности вероятности начальной точки х9 порождает вполне определенное распределение вероятностей следующей точки х1. Распределение вероятностей точки х1 в свою очередь определяет распределение вероятностей точки х2 и т. д. Плотности вероятностей ф (.г) и Ф (х) предыдущей х и последующей ж точек, как нетрудно обнаружить, связаны соотношением
ф (я)=У\ ф (gi Щ | gl (Я) |, (7.45)
г
где суммирование происходит по всем точкам gt (х), которые отображением Т преобразуются в точку х.
В рассматриваемом случае
> g‘i (%) —----2~ ^ ^ ’
282
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
|ГЛ. 7
и поэтому это соотношение записывается в виде
Пользуясь этим соотношением, по начальной плотности вероятности можно шаг за шагом найти плотность вероятности после первого преобразования, затем после второго, третьего и т. д. Оказывается, что вне зависимости от начальной функции ф (х) функция плотности вероятности на п-м шаге срп (х) стремится при неограниченном возрастании п к единице. Таким образом, после достаточно большого числа преобразований все значения х становятся равновероятными, точнее, вероятность нахождения точки х в любом интервале зависит только от его длины.
Рассмотрим более детально отображение с диаграммой на рис. 7.37, б. Это отображение отрезок [0, 1] преобразует в себя. Обратное отображение двузначно и распадается на два непрерывных однозначных отображения Тi1 и Т71. Отображения, обратные Тi1 и Тg1, представляют собою сужения Тг и Т2 отображения Т на отрезок [О, V2] и соответственно [ 1/2, 1]. Возьмем любую точку х° и рассмотрим ее последовательные преобразования, различая случаи, когда применяется преобразование Тг и когда Т2. Именно, пусть
Тем самым любой точке х° €= [О, 1] поставлена в соответствие бесконечная последовательность из единиц и двоек
