Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
X СА) =
Z1 (х) ¦ (г)
V (т)
Т)1 (т) Т)а (т) Т)’(т)
SMX) с2 (X)
3 (X) - х
= 0.
(1.4)
Один из корней этого уравнения всегда равен единице. В зависимости от значений двух других корней возможны следующие основные случаи:
1. Корни действительные и разных знаков. Это — случай седлового периодического движения (рис. 1.11). Через замкнутую траекторию, соответствующую седловому периодическому движению, проходят две интегральные поверхности S2 и S2, состоящие из фазовых кривых, асимптотически приближающихся к кривой у при t —» -f оо и соответственно при t —> — оо.
2. Корни действительные и отрицательные (положительные). Этот случай, изображенный на рис. 1.12, а и б, соответствует устойчивому (неустойчивому) узловому периодическому движению.
3. Корни комплексные с отрицательными (положительными) действительными частями. В этом случае, изображенном на рис. 1.13, а и б, фазовые кривые возмущенного движения напоминают винтовые линии, осью которых является замкнутая траектория.
ГЛАВА 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
В этой главе на ряде конкретных примеров будут изучены колебательные процессы в системах, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка, в консервативных системах второго порядка, а также в системах любого порядка с полной диссипацией энергии.
§ 1. Системы первого порядка
Динамической системой первого порядка (или системой с половинной степенью свободы) называется динамическая модель, движение которой описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка
-? = /<*>• (2Л)
где переменная х характеризует состояние системы,
а функция / (х) предполагается аналитической на всей прямой х, за исключением, быть может, конечного числа точек *). Фановое пространство рассматриваемой системы одномерно, поэтому исследуемое движение можно представить движением изображающей точки на фазовой
прямой.
Если по своему физическому смыслу переменная х является периодической с периодом 2я, т. о. значения х и х 4: 2я соответствуют одному и тому же состоянию системы, то функция f(x) будет также периодической с периодом 2л. Фазовым пространством такой системы
*) Функция / (х) называется аналитической, если в окрестности каждой точки она может быть разложена в степенной ряд с отличным от нуля радиусом сходимости.
20
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |ГЛ, 2
будет отрезок прямой длиной 2л с отождествленными концами. Соединив эти концы, получим окружность единичного радиуса.
В общем случае будем рассматривать фазовое пространство в виде бесконечной прямой (рис. 2.1). Основными элементами, которые полностью определяют разбиение фазовой прямой на траектории, являются состояния
изображающая точкач
---------------h... -X-----------------?
— оо ««- 0
Рис. 2.1
равновесия системы. Равновесные значения х = хк, обращающие функцию / (х) в нуль, представляют собой самостоятельные фазовые траектории. Остальные траектории состоят из отрезков фазовой прямой, заключенных между корнями уравнения f(x) = 0, или из полупрямых, образующих интервалы между одним из корней и бесконечностью. Направление движения изображающей точки по этим траекториям определяет знак функции f(x): при f(x) У> 0 изображающая точка движется вправо,
а при f(x) <0 — влево. Зная вид кривой z = f(x), нетрудно установить разбиение фазовой прямой на траектории. Пример такого разбиения приведен на рис. 2.2, где стрелками указано направление движения изображающей точки. Из вида разбиения фазовой прямой (рис. 2.2) на траектории непосредственно следует, что состояния равновесия системы в точках х = хх, х = ж4 являются устойчивыми, а в точках х — ж3, х = х$, х = хь — неустойчивыми.
СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
21
На рис. 2.2 видно, что в устойчивых состояниях равновесия производная f'(xk) < 0, а в неустойчивых состояниях /' (хк) > 0. Значение / (х^) = 0 может быть как в точках устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия (см., например, точки х = х2, х = х4 на рис. 2.2). Поскольку характер движения в системе первого порядка полностью определяется видом функции f(x), представляет интерес рассмотреть случай, когда эта функция зависит от некоторого параметра X, и изучить влияние параметра X на рассматриваемой системы.
Для этого, согласно предыдущему, достаточно изучить поведение корней уравнения
/ (х, X) = 0 (2.2)
в зависимости от изменения параметра X. Уравнение (2.2) можно представить на плоскости хХ в виде кривой (рис. 2.3).
Точки пересечения прямой л = л0 = const и кривой (2.2) определяют значения х — хк в состояниях равновесия, число которых и характеризует качественную картину разбиения фазовой прямой на траектории. Из рис. 2.3 следует, что при значениях Х0 в интервале < ^2 система обладает тремя состояниями равновесия, а при значениях Х0 < или Х0 Х2 — одним состоянием равновесия. Значения параметра X, при переходе через которые происходит качественное изменение фазового портрета системы, называются бифуркационными (Xi и Х2 на рис. 2.3). Устойчивость состояний равновесия по-прежнему определяется знаком производной по х: равновесие в точке х = хк устойчиво, если fx (хк, Х0) < 0, и неустойчиво, если fx (х^, Х0) 0.
