Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Консервативные системы второго порядка
Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с' одномерным фазовым пространством,
28
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном itTore двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе.
Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связапо с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле двиячения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая: в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиндр.
Мы видим, что изучение консервативных систем второго порядка позволяет довольно простыми средствами полностью исследовать их динамику. Решение этой задачи оказывается полезным также при изучении движений систем, близких к консервативным. Рассмотрим примеры консервативных систем.
Пример 1. Маятник на вращающейся платформе. Пусть физический маятник, представляющий собою тело вращения с главными моментами инерции Л и С, может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси подвеса. Основание подвеса вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси. Рассмотрим общий случай, когда точка подвеса маятника не лежит на оси вращения платформы, на которой установлен маятник (рис. 2.10). Пусть а, Ь, с — декартовы координаты точки подвеса маятника в системе координат Oxyz, скрепленной с платформой так, что ось Oz совпадает с осью вращения
§ 2] КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 29
платформы, m — масса маятника, I — расстояние его центра масс от оси подвеса, 0 — угол отклонения маятника от вертикали, тогда функция Лагранжа L имеет вид
L = -j- А&2 + -у- (А— С) со2 sin2 0 + malш2 sin 0 + mgl cos 0.
Если пренебречь трением и ввести безразмерные величины
е=^,<2.14)
то движение маятника описывается уравнением
0 — a sin 20 — [5 cos 0 + sin 0 = 0. (2.15)
Из уравнения (2.15) непосредственно видно, что величина b не влияет на динамику маятника. Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами 0, 0 (0 <; 0 <
¦\ 2л). Поскольку функция Лагранжа L не зависит явно от времени, имеет место обобщенный интеграл энергии
62—a sin2 0—[5 sin 0 —cos 0 =h.
(2.16)
Уравнение (2.16) определяет связь между 0 и 6 и, тем самым, является уравнением фазовых траекторий. Из (2.16) следует, что
0 = + /2 [/ (0) + hi (2.17)
Таким образом, характер поведения функции
/ (0) = a sin20 -f- р sin 0 -f- cos 0 (2.18)
полностью определяет характер разбиения фазового цилиндра 0, 0 на траектории. Используя соотношение (2.17), нетрудно получить фазовую траекторию для любого заданного значения h. Для этого нужно построить график функции (2.18) и затем, задавая значения 0, последовательно извлекать квадратные корни из выражения 2 [/(0) + h], откладывая получаемые значения на фазовом цилиндре от оси 0 в положительном и отрицательном направлениях оси 0. Примеры такого построения приведены на
30 ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
а) 5)
В)
Рис. 2.11
g 2] КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 31
рис.. 2.11. Экстремальные значения на графике функции / (0) соответствуют состояниям равновесия уравнения (2.15), т. е. особым точкам на фазовом цилиндре 0, 0. Из выражения (2.18) функции / (0) следует, что в зависимости от значений физических параметров а, р могут существовать или две, или четыре особые точки. Бифуркационное соотношение параметров а, р, разделяющее эти случаи, находится из условия слияния двух особых точек, что осуществляется при одновременном выполнении двух соотношений: /' (0) = 0 и /" (0) = 0 или, согласно (2.18),
