Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
-^t + ^-l2 + Xln(i-l) = h. (2.21)
Отсюда I = У2h + / (?), где / (I) = — 2Х In (1 — ?)— При помощи графика функции / (|) и построения, аналогичного проведенному в предыдущем примере, получаем
Рис. 2.15
разбиение фазовой полуплоскости | < 1 на траектории, изображенное на рис. 2.15, а для случая 0 < А < V4 и на рис. 2.15, б для случая Я <С 0. Подставляя в интеграл
энергии (2.21) координаты седловой точки ?*=— +
-f- ----^ =0, находим уравнение сепаратрисы
^ + |*-Й + 2Я,]ц1=А = 0. (2.22)
g 3] СИСТЕМЫ С ПОЛНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 35
фазовый портрет рис. 2.15, а указывает на то, что при начальных условиях, при которых фазовая точка лежит внутри сепаратрисы (2.22), отрезок провода АВ всегда совершает периодическое движение. При любых начальных условиях вне сепаратрисы (2.22) колебательное движение провода невозможно. В случае X < 0 (см. рис. 2.15, б) провод АВ при любых начальных условиях совершает колебания.
При значениях параметра X в области X 1/4 система не имеет состояний равновесия. Фазовый портрет для этого случая изображен на рис. 2.16. При любых начальных условиях провод А В в конце концов приближается с возрастающей скоростью к бесконечному проводу.
При бифуркационном значении X = V4 фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.17. На фазовой полуплоскости Е < 1 в этом случае имеется единственная особая точка (? = V2, S = 0), которую можно рассматривать как результат слияния двух особых точек: центра и седла. Периодические движения в системе при X = V4 также невозможны.
§ 3. Системы с полной диссипацией энергии
Рассеяние энергии, связанное с наличием трения, оказывает существенное влияние на характер движения динамической системы, поэтому изучение этого влияния представляет определенный интерес. Наиболее простые закономерности выявляются в системе с полной дисси-
Рис. 2.16
Рис. 2.17
2*
30
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. 2
цацией энергии, т. е. в такой системе боа источников энергии, в которой силы трения действуют по всем степеням свободы. Рассмотрим сначала простейший пример системы с полной диссипацией энергии.
Пример. Линейный осциллятор с вязкий трением. Предположим, что сила вязкого трения пропорциональна скорости, тогда малые колебания осциллятора описываются уравнением
m'z -|- hi + kz = О,
где т — масса, hкоэффициент трения, к — коэффициент упругости осциллятора. Электрическим аналогом этой системы служит колебательный контур с омическим сопротивлением R, подчиняющийся уравнению
Lq -J- Rg Н—?-(^=0.
Здесь q — заряд конденсатора, С — емкость, L — индуктивность. В безразмерных величинах х — ,
т= У 4-*=*о^Г’25=^у 4- = оба эти
уравнения записываются в виде
х + 2Ьх + х = 0. (2.23)
В отсутствие вязкого трения (5 = 0) получаем консервативную систему. Фазовые траектории на плоскости хх представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Однако для любого сколь угодно малого б (0 < б <^! 1) фазовый портрет претерпевает качественные изменения. В самом деле, общим решением уравнения (2.23) при 0 < б 1 является
х = Ае~&х cos (cot + а),
где о = Y1 — б2; А, а — произвольные постоянные. Согласно этому решению, параметрические уравнения траекторий на фазовой плоскости ху имеют вид
X = Ae~6r cos (ют + а), ^ ^
у = х = —Ae~6t [б cos (ют + а) + ю sin (от + а)].
Если ввести переменные и — сох, v = у + Ьх, то уравнения фазовых траекторий на плоскости uv в полярных координатах р, ф (и = р cos cp, v = р sin q)) принимают
СИСТЕМЫ С ПОЛНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ
37
ВИД
р = (лАе^, ф = — (сот + а),
„ б
или, после исключения времени т, р = 6ехр — ф, где
С — новая произвольная постоянная.
Таким образом, на плоскости uv фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости xij фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу координат (рис. 2.18).
Рис. 2.18 Рис. 2.19
Двигаясь но любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t—*¦ + оо) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивый фокус. Точка х = 0, у — 0 представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора.
Если коэффициент вязкого трения достаточно велик (б 1), то общее решение уравнения (2.23) записывается в виде
х = Ае+Р'* + /?е+Р*г, р1>; = -i- (— б + ]/б2 — 1),
где А, В — произвольные постоянные. Отсюда следует, что при любых начальных условиях движение затухает по экспоненциальному закону. В этом случае семейство интегральных кривых (у + P\x)Vi = С (у + Ргх)Р2 представляет собой на ллоскости ху деформированные пара-
