Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.34
у — 1, если х + |3г/ 0, (4.47)
- у -f- 1, если х $у <С 0. (4.48)
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ 103
Поскольку величины ф и ф + 2п соответствуют одному и тому же положению судна, фазовое пространство рассматриваемой системы представляет собою двумерный цилиндр, развертка которого на плоскость изображена на
рис. 4.36 в виде полосы шириною 2а — . Прямая пере-
ключений х + рг/ = 0 разбивает фазовую полосу на две области: Ох, в которой движение изображающей точки
подчиняется уравнениям (4.47) , и Ог, где справедливы уравнения (4.48). Поскольку уравнения (4.48) получаются из (4.47) заменой х, у на —х, —у, соответствующие траектории области Ох и области 02 симметричны друг другу относительно начала координат. Следовательно, для разбиения фазовой полосы ху на траектории достаточно изучить их поведение в области Ох, включая граничную прямую х + рг/ = 0.
Рассмотрим сначала ход фазовых траекторий области Ох вблизи прямой х + Рг/ = 0. Для этого введем величину g = х + Рг/ и найдем § = х + р.у = (1 — Р) у — р. Производная ? обращается в нуль на прямой у - ^ j^-p ,
которая, таким образом, является геометрическим местом точек, где траектории области Ох имеют касательную, параллельную прямой х + Рг/ = 0. Пусть 0 < р < 1. В этом
О
случае для значений у yZTp на прямой х + рг/ = 0
фазовые траектории удаляются от граничной прямой,
а для значений г/<^ i ^ р приближаются к ней. Таким
образом, принимая во внимание аналогичное поведение траекторий области 02 в окрестности граничной прямой,
104 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
приходим к выводу, что на прямой х + $у = 0 имеется отрезок I
1И<т=г. (4’49)
к которому фазовые траектории подходят с обеих сторон, а вне этого отрезка в соответствии с требованием непрерывности движения изображающей точки пересекают ее (т. е. изображающая точка, двигаясь по этим траекториям, переходит из одной области в другую). Если изображающая точка приходит на отрезок (4.49) граничной прямой х + Ру = 0, то в дальнейшем она движется по этому отрезку. Движение вдоль отрезка (4.49) соответствует устойчивому скользящему режиму двухпозиционного авторулевого. Закон движения изображающей точки на отрезке (4.49) находится из уравнения х + fix = 0, которое получается при подстановке у = х в уравнение граничной прямой. Отсюда х = хйег1^ и, следовательно, при скользящем режиме двухпозиционного рулевого отклонение судна от заданного курса затухает по экспоненциальному закону.
Поведение фазовых траекторий вне отрезка (4.49) изучим путем сведения задачи к точечному отображению граничной прямой х + $у = 0 в себя. Общее решение системы (4.47) имеет вид
У — —1 + (Уо + 1) е~{, х = х0 — t + (уо + 1)(1 — е~1),
(4.50)
где х0, у0 — значения фазовых переменных х, у при t = 0. Пусть в начальный момент времени х0 = —(Зг/Х, у0 = у1: а через время г ^ 0 изображающая точка возвратилась на граничную прямую х + $у — 0, имея координаты (РУг, —Уг)- Подставляя эти значения в (4.50) и разрешая полученные выражения относительно ух и у2, приходим к параметрической записи искомого точечного отображения:
У1 = ~~ 1 + (1 - Р) (1 - *-т) ’ У2 == 1 “ (1_р)(^_1) ’
(4.51)
где время перехода т является текущим параметром. Согласно (4.51) при т 0 имеем yt —> YZTp » Уъ —Г~^~]5 • При т оо кривые уг = уг (т) и у2 = уа (т) уходят в
§ 4]
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
105
бесконечность, приближаясь к асимптотам г/i —-j—р-
и соответственно г/2 = 1. Производные
dyi _ 1 — (т + *) е~Х dy2 __ ех[х — (1 — е~г)]
dx ~ (1 _ р) (1 _ e-t)a ’ dx ~ (1_р)(ет_1)2
при всех значениях т 0 положительны. Графики функций ух = ух (т) и г/2 (т) изображены на рис. 4.37. Поскольку эти кривые не пересекаются, точечное отображение
(4.51) не имеет неподвижных точек. «Лестница Ламерея»,
построенная на этих кривых, может содержать самое большее две «ступеньки». Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой х + $у = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая 0 < 0 < 1 показано на' рис. 4.38. Рассмотрение случая 0 <С 0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показапный на рис. 4.39. Таким образом, в случае |3 <С 0 точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, расположенный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При этом режиме корабль
