Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
[qA,PB] = 6l (16.3.6.11 а)
h. (16.3.6.116)
fc“. Ptb] = Ьаь; (16.3.6.11в)
все остальные скобки Дирака обращаются в нуль. Вторым преимуществом проведенного переопределения ХА и 0 является то, что в новых переменных скобки Дирака имеют канонический вид. (В соотношении (6.3.6.11 в) а и Ъ — SO (8)-индексы,
соответствующие световым майорана-вейлевским спинорам. Отметим, что т] также имеет лишь 8 независимых компонент. Скобки Дирака для него могут быть записаны в виде
(16.3.6.116), поскольку пц тождественно коммутирует со всем остальным.)
Теперь мы готовы к тому, чтобы наложить калибровочное условие светового конуса и ограничить теорию ее истинными физическими степенями свободы. На этом этапе мы возвращаемся к более традиционным обозначениям п-^у+ и Световые калибровочные условия имеют вид
Х+ = р+х, Y+0 = O. (16.3.6.12)
Первое условие фиксирует репараметризации. Второе замораживает фермионную калибровочную инвариантность; оно эквивалентно условию
? = 0. (16.3.6.13)
Это допустимое калибровочное условие, так как det[?, р5]=/=0.
Связь рлрА = 0 можно разрешить и выразить р~ как функцию р+ и р‘:
Р~ = 2^Z^2’ г‘=1’2-----------------8- (16.3,6.14)
i
Действие в световой калибровке получается при подстановке уравнений (16.3.6.12), (16.3.6.14) и р^ = 0 в выражение
(16.3.6.10), что дает
5 W, Pi, и~, Г,-] = 5 йх |"ptq1 — р+й~ + г У 2 ? ilefia — Н j ,
(16.3.6.15а)
Суперструна 271
где
tf = yj>‘)2, (16.3.6.156)
i
и~ = Х~ — р~х. (16.3.6.15в)
В выражении (16.3.6.15а) а — 50(8)-спинорный индекс, ассоциированный с представлением 8S (см. приложение В). Для удобства в дальнейшем отметим, что в световой калибровке связан с 0 следующим образом:
т! = Ур+в- (16.3.6.16)
Множитель д/р+ возникает вследствие изменения масштаба (п-р)1/2.
Вид скобок Дирака в световой калибровке определяется из кинетического члена выражения (16.3.6.15а):
[Ч1,Р}] = &'}, I»", р+] = -1, WWl = —(16.3.6.17)
{все остальные скобки равны нулю).
Упражнение. Исключите импульсы pi из выражения (16.3.6.15а) путем использования уравнений движения для них. Результат сравните со светокалибровочным действием второго порядка для суперструны, полученным в разд. 16.1.8, в предположении эффективного вымораживания степеней свободы (р+и-).
Заряды Пуанкаре в световой калибровке получаются при подстановке световых калибровочных условий и связей в выражения (16.3.2.2а) и (16.3.2.26):
Р+^р+, Р1 = р\ Р~ = р~, (16.3.6.18а)
мц ^ рцХп + т,»у/ч, (16.3.6.186)
М1~ =-j{plu~ — р~Х{) + P;VY4 (16.3.6.18в) М1+ = — ±р+Х1, (16.3.6.18г)
М~+ — — 1р+и~, (16.3.6.18д)
где р- определяется разложением (16.3.6.14). Выражение (16.3.6.186) выведено с использованием соотношения
0Yi/*0=O, (16.3.6.19)
справедливого в калибровке светового конуса.
272 Глава 16
Матрицы у11 в выражениях (16.3.6.186) и (16.3.6.18в) являются 8 X 8-генераторами представления 8S группы SO (8), индуцированного на восьмимерном пространстве светокалибровочных майорана-вейлевских спиноров 32 X 32-матрицами yif. Они, разумеется, антисимметричны. Подробнее этот вопрос рассмотрен в работе [67].
Чтобы записать выражение для суперзаряда, удобно разбить его на две неприводимых SO (8) -компоненты в соответствии с выражением
Q = Q+ +Q_, (16.3.6.20а)
где
Q+ = -yWQ, Q_ = -yv~y+Q; (16.3.6.206)
Q+ принадлежит спинорному представлению 85 группы SO (8), a Q_ — представлению 8С (см. приложение В; отметим, что Q обладает киральностью, противоположной киральности 0).
После соответствующей перенормировки получаем
Q+ = 25/4Д//F Ц, (16.3.6.21а)
93/4 . . .л
Qt=-±=Pi{у\) ; (16.3.6.216)
8 X 8-матрицы (у1)аа приведены в работе [67]. Из соотношения (16.3.6.21а) видно, что спинорная переменная т]а по существу является суперзарядом.
Светокалибровочные компоненты суперзаряда удовлетворяют классическим соотношениям со скобками Пуассона, соответствующим суперсимметрии светового конуса [67]:
