Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Б.2. Преобразования Фирца
Поскольку матрицы В образуют базис, любая матрица М типа 32 X 32 может быть представлена в виде
М = аАВА. (Б.9)
Коэффициенты аА легко найти с помощью соотношения (Б.4): ал = з^(-)ЕМг(ВлМ). (Б. 10)
Рассмотрим теперь четыре спинора: X, %, \|з и ф, Тождества Фирца позволяют выразить выражение
ХМ% • я\>Ыф =з XiM'jX1 ¦ кМк1Ф\
где М и N — матрицы_ 32 X 32, через 322 “фундаментальных” билинейных функций фблХ- Для этого нужно лишь заметить, что числа М1,Ык1 для фиксированных i и / можно рассматривать как компоненты матрицы 32 X 32; поэтому
» = ЕаАг,(Вл)‘,- (Б. 11а)
А •*
280 Приложение Б
где afl определяются выражением
aAif = ~ (-)8Л . (Б. 11 б)
Это дает
%М% • = - -- У (-)е ЧМВАМф ¦ арВлХ’ (Б. 12)
А
где знак минус появляется вследствие антикоммутативности 'фб и х1-
Преобразование Фирда (Б. 12) для майорана-вейлевских спиноров с одинаковой киральностью играет огромную роль при выводе ковариантной формы действия суперструны. Получаем
Шх • "фМф = — ~ (1М\АЫф — ХМуАуиЫф) +
+ ^ &М\АВСАтф — ШуАВСупЫф) фУлвсХ —
— -^¦1МуАВСОЕМф^уАВСОЕх, (Б.13)
где принято, что (1—уп)^ = 0==0— Yn)x = ---> и суммирование снова ограничено условием А С В < С ... .
Если положить = М = уА, х — ^2, i|> = a, N = yA и ф = \|э3, то соотношение (Б. 13) сводится к виду
• «Ya^3 =
= — ^-^iYcY/4Yc11’3«Y4^2 + -16 4>iYcY'4BBYc1l’3aYABD^2 —
— ^-4>iYCY'4BD?/rYct3aYxBD?F%- (Б.14)
Это соотношение может быть преобразовано с помощью тождеств
усуАус = —8уА, (Б.15а)
yCyABDy^ _—(Б.156)
yCyABDEFyc — 0) (Б.15в)
которые легко выводятся из антикоммутационных соотношений для ^-матриц. (Аналогичные тождества для четных yAf-Ak
имеют вид yCy"4BYc — 6уЛВ и ycyABDEyc = 2yABDE Тождества (Б.15) позволяют преобразовать соотношение (Б.14) к виду
• аулФз = у tiY^s • “Ya^2 — ‘ “Yabd^- (Б. 16)
Матрицы у в десяти измерениях 281
Наконец, антисимметризуем полностью последнее соотношение по фь i|)2 и 1р3. Поскольку а произвольно, это дает
Ул’МгУЧз + YaWsY^i + YaWiY^ = (Б.17)
что является тождеством, используемым в тексте для установления замкнутости 3-форм Q3 (разд. 16.1.2). Член (16.1.2.6), найденный там, а именно
(dQyA A d8[) A (d6l Д \А dQl) =
= 0,1 xY40,V9! vYaB,1 р dxx a dx11 Д dxv A dxр,
обращается в нуль, поскольку действие внешнего произведения dxk A dx** Д dxv A dxр состоит в антисимметризации спиноров, как в уравнении (Б.17).
Тождество (Б.17), как было установлено в работе [73], играет ключевую роль при исследовании суперянг-миллсовой теории.
Приложение В Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
Световые у-матрицы y+ и 7- удовлетворяют соотношениям
(Y+)2 = (y_)* = 0 и y+Y~ + Y_Y+ = 2ri+~ = — 2. (В.1)
Из этих соотношений видно, что Р+ и Р~ являются проекторами:
P- = -YY+Y', Р+ = ~ъ Y“Y+. (В.2а>
(Р+)2==р+> (р-)2 = я-) р++р- = 1. (В.26)
Кроме того,
(Р+)Т = Р+, (р-)т = р-( (В.З)
поскольку (у+)т = —Y- и (?")т = —Y+-
Любой спинор можно разложить на его +- и —компоненты:
ф = 1}з+ + 1}>~, (В.4а)
¦ф+==Р+,ф> -ф- = Т5-т|з. (В.46)
По определению имеем
Y~i|)+ = y4^- = 0. (В.5)
Разложение (В.4) не ковариантно при лорендевых вращениях, которые в общем случае перемешивают +- и —части
спинора г|з. Но система (В.4) ковариантна при действии под-
группы 50(8) группы 50(9, 1), содержащей вращения в поперечных направлениях. Иными словами, спинорное представление группы 50(9, 1) является приводимым для группы 50(8).
Удобно выбрать такие Y-матрицы в десяти измерениях, которые ясно отражают это свойство. Мы полагаем
Мо' -?)• (В-6>
v+=(“ ID- v-Lv? ID- (в-7а)
V = (_? о). У’ = С, J)- <В.7Л»
Разложение десятимерных спиноров
283
Величины у1 являются поперечными ^-матрицами в восьми пространственных измерениях. Они 16-мерны, поскольку в десяти измерениях у-матрицы имеют размерность 32 X 32. В выражении (В.76) символ 1 обозначает 16-мерную единичную матрицу.
