Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя содержащиеся в соотношении х ^ 0 связи первого рода и выделены ковариантно, ценой за поддержание явной ковариантности является избыточность связей ф. Действительно, мы находим следующее сильное соотношение между ф и Ж\
фр — 2рвЖ = 0. (16.3.4.6)
Оно отражает избыточность калибровочных параметров преобразований (16.3.1.4) и приводит к усложнениям БРСТ-процеду-ры. Заметим, что простого ковариантного способа выделить (8+1) независимых связей из (16+1) избыточных связей первого рода ф, Ж, по-видимому, не существует.
Аналогично не существует простого ковариантного способа отождествить 8 связей второго рода, содержащихся в %. Ниже будет показано, что связи второго рода играют важную роль
Суперструна 263
в обеспечении корректных антикоммутационных соотношений для спиноров, так что не учитывать их нельзя. Необходимо их сохранить, поэтому приходится столкнуться с только что упомянутой проблемой явной ковариантности.
16.3.5. Модель Сиджела
Мы показали, что связи первого рода, содержащиеся в %, можно отождествить ковариантно, хотя и избыточным способом.
Сиджел [65] предложил новую теорию, в которой удерживаются только связи первого рода </> и 36 и не учитываются связи второго рода, содержащиеся в %. Каноническое действие для этой теории имеет вид
S = J (рАХА + р60 — Н) dx, (16.3.5.1)
а единственные связи _
36 = 0, ф = 0. (16.3.5.2)
В этой новой модели возникает проблема, связанная с тем, что
она содержит состояния с отрицательной нормой, поскольку эти
нежелательные состояния необходимы для представления канонических фермионных антикоммутационных соотношений, следующих из выражения (16.3.5.1) без связей второго рода. Чтобы понять это, рассмотрим световую калибровку
Y+0 = 0, *+~т. (16.3.5.3)
Кинетический член для фермионов принимает вид
[pffidx, (16.3.5.4)
где а — 50(8)-спинорный индекс. Кроме того, 0а — SO (8) -световой спинор, удовлетворяющий соотношению (16.3.5.3). Он содержит 8 независимых вещественных компонент, если учесть майорана-вейлевское условие (см. приложение В).
Из выражения (16.3.5.4) следует, что 9а и рд, не связанные в модели Сиджела, удовлетворяют соотношениям со скобками Пуассона:
[ва, вь] — 0, [0<\ Р>] = ЬаЬ, [р“, Ре] = 0. (16.3.5.5)
Соответствующие антикоммутаторы имеют вид
qV + 0V = 0, 0ард + ре0а = гба&, (16.3.5.6а)
РеР0 + Р0Ре = о- (16.3.5.66)
264
Глава 16
Поскольку спинор 0° вещественный, единственный способ удовлетворить условию (0а)2 = О состоит в использовании гильбертова пространства с индефинитной метрикой. (В истинном гильбертовом пространстве условия (0°)2 = О и 0а = (0а)* означали бы, что ба = 0, что противоречит соотношениям (16.3.5.6а).) Назначение связей второго рода в первоначальной модели суперчастицы как раз и состоит в избежании этой проблемы путем придания фермионам корректного кинетического члена 0а0“.
Хотя модель Сиджела имеет тот недостаток, что присутствуют состояния с отрицательной нормой, тем не менее интересно провести квантование ее БРСТ-методами. С этой целью можно провести усечение теории в положительно определенный сектор. Эта процедура, вероятно, должна быть эквивалентна модели суперчастицы.
Примечательное свойство модели Сиджела в БРСТ-контек-сте состоит в том, что это первый пример теории, которая нуждается в бесконечной последовательности компенсационных духов для духов, чтобы сохранить явную ковариантность. Такая теория является приводимой теорией “бесконечного каскада” [66]. Это свойство присутствует и в первоначальной модели
(16.3.1.1).
Мы уже подчеркивали неоднократно, что связи ф и Ж> не независимы, но удовлетворяют соотношению
фр — 2Жрв = 0 (16.3.5.7)
(тождественно).
Но в БРСТ-формализме на одну независимую связь должна вводиться только одна пара канонически сопряженных духов. Но поскольку не существует простого ковариантного способа выделить независимые связи из ф и 96, по-видимому, такое ортодоксальное применение БРСТ-методов столкнулось бы с теми же трудностями неявной ковариантности, которых мы хотели избежать, опустив связи второго рода.
Способ решения этой проблемы хорошо известен [66]; он описан в работе [31]. С каждой связью ассоциируется пара канонически сопряженных духов, после чего вводятся следующие “духи для духов”, компенсирующие неправильный счет. Следовательно, сначала вводят “первичные” духи (т|, я) и (С, ZP*-1')), удовлетворяющие соотношениям
[т), it] = 1 = [я, rj], (16.3.5.8а)
[са, ^'4 = 6$ = -Ы\са].
(16.3.5.86)
Суперструна
265
Духи [т], я] являются антикоммутирующими скалярами, а духи
