Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
+ оо
Pi = / Ф(ш)е^гДсо. (5.2)
- оо
В преобразовании Фурье (5.2) функция Ф(ы) имеет смысл спектральной
плотности импульса. Она выражается через /(f) при помощи обратного
преобразования Фурье:
Ф(ш) = {2*Г1 (5.3)
114
Из соотношения (5.3) и вещественности / следует Ф*(со) = Ф(-со).
(5.4)
Напомним, что звездочка означает комплексное сопряжение.
Физический смысл имеют только неотрицательные частоты. Поэтому в.
предыдущих параграфах мы считали со > 0. В формуле (5.2) можно было бы
ограничиться интегрированием по области со > 0 и добавлением к интегралу
комплексно-сопряженной величины. Отрицательные частоты, подобно
комплексной записи волновых полей, введены для удобства выкладок.
Обозначив, как и ранее, коэффициент отражения плоской монохроматической
волны через V, отраженный импульс запишем в виде
+ во
pr = J Ф(со)К(со, 0)e,CJ?1cZco, ^ = (эс sin в +z cos0)/c - t. (5.5)
- во
Поскольку давление рг - величина вещественная, то аналогично (5.4)
получаем
К(-со) = V* (со). (5.6)
Отраженный импульс имеет в общем случае форму, отличную от формы
падающего импульса. Форма импульса не меняется, только когда V не зависит
от со (из (5.6) следует, что при этом V - вещественная величина). Тогда
коэффициент отражения как постоянная величина выносится за знак
интеграла, и
pr(x,z, t) = F/(fj). (5.7)
Но так будет не всегда. Коэффициент отражения от границы раздела
однородных сред при со > 0 дается формулой (2.27) и не зависит от
частоты. Однако при п < 1 и sin в > п имеет место полное внутреннее
отражение, V является комплексной величиной, и К (-со) Ф К(со). В
результате форма импульса изменяется. То же, вообще говоря, происходит и
при отражении от неоднородной среды.
Будем считать полупространство г < 0 слоисто-неоднородным. Пусть при
достаточно больших (-г) среда вновь становится однородной. Тогда можно
ввести коэффициент прозрачности Wи записать прошедший импульс по аналогии
с (5.5) в виде
Pt^= S Ф(со)Н/(со, 0)e!CJ?J Jcj, = (* sin 0, - z cos вг )/<?! - t, (5.8)
- go
где 0! - угол преломления, связанный с углом падения и скоростью звука с!
в глубине нижнего полупространства соотношением sin 0 j = = (c1(/c)sin в.
Для коэффициента прозрачности W справедливо соотношение, аналогичное
(5.6).
Следуя работе [46], докажем теорему сохранения полного импульса: полный
(интегральный) импульс в любой точке верхней среды равен полному импульсу
в любой точке нижней среды. Для некоторых ограниченных случаев этот закон
был сформулирован также в статье [357]. Недавно он был вновь доказан в
работе [327]. Математически теорема
8*
115
выражается тождеством
/ (Pi+Pr)dt = / ptdt, (5.9)
- (c)о - оо
которое остается справедливым независимо от формы падающего импульса и от
выбора точек в пространстве, для которых берутся интегралы в правой и
левой частях равенства. Так, например, при полном внутреннем отражении
импульса максимальное значение давления, как мы увидим ниже, будет
убывать при углублении в нижнюю среду. Однако при этом импульс
растягивается во времени так, что его площадь, даваемая интегралом в
правой части (5.9), остается постоянной при сколь угодно большом удалении
от границы.
Доказательство тождества (5.9) начнем с рассмотрения интегральной
величины падающего импульса. Интеграл по t в бесконечных пределах
эквивалентен интегралу по f. Поэтому
Tjidi = Т p,d$ = ff Ф(ы)е1ы^ы. (5.10)
Но, как известно, имеет место соотношение (см., например [72, § 9})
/ exp(i'cof)cff = 2nS(cc), (5.11)
- оо
где 5(со) - функция Дирака, равная нулю всюду, кроме точки со = 0, причем
в этой точке она обращается в бесконечность. Функция Дирака обладает
свойством
+ оо
/ <р(со)5(со)с/со = *>(0), (5.12)
- оо
где <p(oj) - произвольная непрерывная в нуле функция. Теперь из (5.10)
получаем
/ Pidt = 2тгФ(0). (5.13)
- оо
Этот результат можно было предугадать и заранее, поскольку известно, что
площадь под кривой дается постоянной составляющей (соответствующей со =
0) разложения этой кривой в ряд или интеграл Фурье.
Из соотношения (5.6) видно, что вещественная часть коэффициента отражения
непрерывна при со = 0, а мнимая является нечетной функцией со и при со =
0 испытывает разрыв. Для вычисления интегрального импульса отраженной
волны представим ее, исходя из (5.5) и учитывая соотношения (5.4) и
(5.6), в виде
+ оо + оо
pr = / Re (ФИ)е,ш^'сДо - 2 / lm (ФИ) sin cof,cfco. (5.14)
- оо О
Второе слагаемое в правой части (5.14) является нечетной функцией f! и
при интегрировании по f ( дает нуль. Интеграл но f ( от первого
слагаемого, где под интегралом стоит непрерывная при со = 0 функция, вы-
116
числяется так же, как для падающей волны, и оказывается равным 2л Re
[Ф(0)И(0)]. Аналогичное выражение с заменой V на W получается и для
интеграла от преломленного импульса.
Таким образом, для доказательства (5.9) достаточно убедиться в
справедливости равенства
Ф(0) + Яе[К(0)Ф(0)1 = Яе[^(0)Ф(0)].
Согласно (5.4), величина Ф(0) - вещественная. Поэтому последнее равенство
