Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве макроскопических соотношений вышеприведенные уравнения являются строгими и, следовательно, применимыми всегда, когда условия практически однородны на протяжении областей, содержащих большое количество ячеек решетки. Линейность этих уравнений представляет собой допущение, аналогичное закону Гука в теории упругости, и в точности эквивалентна обычному приближению, применяемому при рассмотрении колебаний решетки, когда пренебрегают членами порядков выше второго в потенциальных функциях. То, что коэффициенты Ьп, Ь12, Ь2Ъ Ь22 являются скалярами, а не тензорами, следует из условия изотропии.
Коэффициенты в уравнениях (7.1) и (7.2) не все независимы ; в Приложении V показано, что
b\2 = b21. (7.3)
Учтя это общее соотношение, можно выразить коэффициенты b через экспериментально намеряемые величины. Из электромагнитной теории света известно, что квадрат показателя преломления равен
§ 7. Длинноволн. 'колебания решетки, принадл. к оптическим ветвям 101
диэлектрической постоянной ; явление дисперсии (зависимость показателя преломления монохроматической волны от ее частоты) непосредственно следует из факта зависимости диэлектрической постоянной от частоты. Для рассматриваемых кристаллов диэлектрическая постоянная для любой заданной частоты со (= 2 -г v) может быть выведена непосредственно из уравнений (7.1) и (7.2) путем рассмотрения периодических решений :
Е = Е0 w = w„ р = р„
Таким образом, из этих уравнений получаем
— ы2 w = bxl w + b12 Е,
Р = b21 w + b22 Е.
Исключая w из этих уравнений, видим, что Р и Е связаны соотношением
Р--1Ай+ ь?Ьг' Ле.
\iu -bn - “-J
Сравнивая это соотношение с определением электрической индукции
D = E-|-4:7rP = eE, получаем диэлектрическую постоянную
е=1+4пЬ» + (7.4)
t/u — Ш
Эту дисперсионную формулу наиболее удобно записать в следующем виде :
е = *«+—е0-7^2- ¦ (7.5)
(--]2 ’ '.“о 1
Постоянные, входящие в эту формулу, представляют собой непосредственно измеряемые величины :
1) ы0 — инфракрасная дисперсионная частота (циклическая) есть та частота, при которой показатель преломления и диэлектрическая постоянная обращаются в бесконечность. Как мы увидим в § 10, на практике она измеряется как частота поглощения в тонкой пленке кристалла.
2) е0 — статическая диэлектрическая постоянная — значение диэлектрической постоянной, измеренное либо в статическом поле, либо в переменном поле с частотой, весьма малой по сравнению с «0.
3) ?оо—высокочастотная диэлектрическая постоянная—значение диэлектрической постоянной, полученное из показателя прело-
102
Глава 2. Колебания решетки
мления электромагнитных волн с частотами, настолько большими по сравнению с ш0, что последним членом в формуле (7.5) можно пренебречь.
В одном из следующих параграфов мы рассмотрим дисперсию с экспериментальной точки зрения. Здесь же необходимо лишь отметить, что — постоянная только для частот, малых по сравнению с частотами электронных движений в кристалле ; в дальнейшем мы всегда будем считать последнее условие выполненным. Тем самым применимость вышеприведенной дисперсионной формулы ограничивается инфракрасной областью. Однако поскольку частоты электронного движения обычно в несколько сот раз больше инфракрасной дисперсионной частоты со0, это ограничение практически не создает трудностей при определении постоянного значения для Еоа.
Используя общее соотношение (7.3) и сравнивая (7.4) с (7.5), можно следующим образом выразить коэффициенты через доступные измерению постоянные ш0, е„, еоо :
йп = -«о2, (7.6)
Ьгм = Ьа = [*^-У'а>0, (7.7)
b*2 = -4=-L • (7.8)
Эмпирические значения ы0, е„, есх, для ряда обычных кристаллов сведены в табл. 17, где для удобства сопоставления наряду со значениями c0q приведены также значения обычной частоты v0 — w0/2 т и соответствующей длины волны в вакууме А0 = cjv0.
Длинноволновые оптические колебания могут быть получены непосредственно из рассмотрения уравнений (7.1) и (7.2) совместно с уравнением электростатики
div D = div (Е-}-4яР) = 0, (7.9)
где вектор электрического поля Е — безвихревой. Интерпретация сравнительного смысла уравнений (7.1), (7.2) и (7.9) проста : уравнение (7.9) может быть интерпретировано как уравнение Пуассона для электрического поля, обусловленного плотностью заряда —div Р. Последняя вызывается диэлектрической поляризацией, величина которой дается уравнением (7.2). Уравнение (7.1) — уравнение движения : с точностью до постоянного множителя (М/^а)‘/! первый член в правой части представляет собой локальную упругую возвращающую силу, в то время как второй член выражает эффект кулоновского взаимодействия с остальными зарядами. Использование метода электростатики эквивалентно допущению кулоновского взаимодействия между зарядами в решетке. В действительности, конечно, кулоновское взаимодействие является запаздывающим; эффект запаздывания будет рассмотрен в следующем параграфе.
