Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
дает не только то, что, ограничивая значения у обратной ячейкой, мы получаем все различные решения, но и то, что разные значения у в одной и той же ячейке действительно соответствуют различным решениям. Поэтому можно записать функцию распределения f(v) следующим образом :
где интегрирование производится по обратной ячейке. Выражение (6.24), очевидно, соответствует нормировке f(v) в согласии с (4.20):
Были предложены различные методы вычисления функции распределения частот f(v) для кристаллов. Ниже мы кратко опишем эти методы и рассмотрим некоторые характерные черты полученных с их помощью функций f(v).
Наиболее часто применяемый метод вычисления f(v) принадлежит Блэкману [14]. Он состоит в выборе конечного числа равномерно распределенных точек в обратной ячейке в у-пространстве или, лучше, в выборе эквивалентной области с максимальной симметрией. Затем из уравнения (6.14) определяются 3п частот для каждого из этих значений у. Наконец, шкала частот делится на некоторое число подходящим образом выбранных конечных интервалов и подсчитывается число частот, попадающих в каждый из них. Если построить зависимость подсчитанного числа частот от частоты в соответствующем интервале, то получается ступенчатая кривая, которая может быть сглажена до непрерывной кривой. Вертикальная шкала подбирается затем так, чтобы получающаяся кривая изображала функцию распределения частот /(v), удовлетворяющую условию нормировки (6.25). В случае структур, обладающих особой симметрией, уравнение (6.14) одинаково для групп симметрично расположенных точек в у-пространстве, так что достаточно решить это уравнение лишь для малой доли полного числа рассматриваемых значений у. Так, для кристаллической решетки с кубической симметрией типа NaCl достаточно решить уравнение (6.14) только для точек внутри объема, составляющего 1/48 объема обратной ячейки. Тем. не менее вычислительная работа, связанная с этими расчетами, остается еще весьма трудоемкой.
Блэкман рассчитал этим методом распределение частот для двумерной квадратной решетки и для простой одноатомной кубической решетки при том упрощающем предположении, что взаимодействие имеет место только между ближайшими и вторыми по близости соседними частицами. Кривая (0D, Т), вычисленная с помощью этой функции распределения, аналогична кривой, полученной им для линейной цепочки.
[ / (v) d v = 3 п.
(6.25)
§ 6. Спектр частот колебаний решетки и удельные теплоемкости 89
Вышеописанный численный метод был несколько усовершенствован Хаустоном [16]. Всегда можно найти прямые, проходящие через начало координат обратного у-пространства, для которых уравнение частот (6.14) может быть решено точно. Таким образом, отнесенное к единице телесного угла распределение частот F(y,Os, <ps) может быть легко получено для нескольких направлений (9S, <ps) в обратном пространстве. Эти выражения могут быть разложены по сферическим функциям
F O', Os, <Ps) = v ft (v) Y, (0„ <ps), (6.26)
i
где с помощью соответствующего выбора функций Y можно учесть симметрию решетки ; число членов в правой части соответствует определенной степени приближения. Беря это число равным числу направлений (0S, <ps), для которых было решено уравнение частот, можно найти fi(y). Тогда полная функция распределения f(y) равна
f(v) = JJ F (v, д, <р) sin в d в й <р = 4 я /о (v) У0 ¦
Хаустон применил этот метод к нахождению распределения частот для одноатомной простой кубической решетки с теми же константами взаимодействия, что и выбранные Блэкманом. В противоположность функции Блэкмана, состоящей из конечных ступенек, кривая Хаустона для f(v) имеет несколько резких пиков, в которых f(v) обращается в бесконечность (ср. стр. 92). Однако площадь под этими пиками конечна. Кривая зависимости 0D от Т, полученная с помощью этой функции распределения, имеет гораздо больший «провал», чем кривая Блэкмана.
В отличие от этих численных методов получения распределения частот, Монтролл [17, 18] предложил метод апроксимации распределения частот аналитическими выражениями. Чтобы определить все 3nN циклических частот wf(y,), надо найти характеристические корни матрицы (6.14а) для N значений у в ячейке обратной решетки. Обозначим эти значения у через ylt у2, . . ., yN и обозначим через С(у) матрицу, получающуюся из матрицы (6.14а) делением каждой ее строки на (2 я)2. Тогда, если и/2 тг = v, то величины vj(y,) (/ = 1, 2, . . ., Зп; /= 1, 2, . . ., N) являются, очевидно, характеристическими корнями диагональной матрицы с N строками и N столбцами :
С (У1) 0 . . . 0
о с (у2) .
0 ... ¦ С (yiV)
90
Глава 2. Колебания решетки
в которой каждый диагональный элемент С(у;) представляет собой определенную выше матрицу с 3п строками и 3п столбцами. Далее, из известной теоремы о матрицах следует, что сумма к-ых степеней всех характеристических корней матрицы С равна следу матрицы Ск (т. е. сумме диагональных элементов к-ой степени матрицы С), если условиться, что d-кратно вырожденный характеристический корень следует считать d раз. Отсюда, обозначая среднее значение к-ой степени характеристических корней v® (у;) матрицы С через fi2k, имеем
