Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще, когда две колебательные системы связаны, нормальные колебания связанной системы представляют собой смесь первоначальных колебаний обеих систем. Если частоты исходных систем близки друг к другу, то их взаимное возмущающее действие велико, и в связанных нормальных колебаниях сравнимую роль играют обе системы. Если исходные системы имеют одинаковые частоты, то их взаимодействие описывается как резонансное. С другой стороны, если исходные частоты сильно различаются между собой, то взаимное возмущающее действие мало, и связанные нормальные колебания в основном близки к исходным колебаниям одной из систем с малой примесью другой, или наоборот. На фиг. 19 поперечные решения (сплошные кривые) описывают связанные нормальные колебания, представляющие собой смесь приближенных поперечных решений (пунктирные линии) с одним и тем же волновым числом к. Точка пересечения, обозначенная через О, соответствует резонансу обеих групп приближенных решений. Эффект резонанса сходит на нет при перемещении вправо, где верхняя и нижняя ветви сплошных кривых приближаются к пунктироным линиям. Физическая интер-
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запазд. на колебания решетки 113
претация этого ясна : справа от точки резонанса частота верхней ветви делается настолько большой, что ионы не могут принимать заметного участия в колебаниях благодаря своей большой инерции ; поэтому приближенные решения, соответствующие фиксированным ионам, обеспечивают хорошее приближение. Нижняя ветвь описывает здесь в основном колебания решетки с фазовыми скоростями, малыми по сравнению с с/Уё^ ; сравнительно с этим, скорость распространения силы взаимодействия настолько велика, что эффект запаздывания становится незаметным. Поэтому хорошей апроксимацией этих нормальных колебаний являются колебания решетки, рассчитанные с незапаздывающими силами.
Используя выражение для плотности энергии, которое мы сейчас выведем, можно вычислить относительные доли энергии излучения и механической энергии колебаний решетки в поперечных нормальных колебаниях. На фиг. 20 приведена доля механической энергии колебаний решетки для обеих ветвей поперечных нормальных колебаний. Отметим, в частности, что справа от точки резонанса НИЖНЯЯ ветвь Фиг. 20. Процент механической энергии оптических ВОЛН прибли- в поперечных нормальных колебаниях.
жается практически к чисто
механическим колебаниям решетки, а верхняя ветвь, напротив, стремится к значениям, отвечающим чисто радиационной энергии; и то, и другое согласуется с вышеизложенной интерпретацией. Для волн, близких к точке резонанса или левее ее [А' ^ (<и0 ~ Ю3 см-1 ],
не существует нормальных колебаний, подобных чисто механическим поперечным колебаниям решетки, получаемым электростатическим методом ; в этой области (длины волн > Ю-2 см) энергия всех нормальных колебаний оказывается смесью радиационной и механической энергии в сравнимых долях.
Существенно механическая природа поперечных нормальных колебаний непосредственно ниже дисперсионной частоты ш0 имеет большое значение при рассмотрении свойств их, как оптических волн. Энергия механических колебаний сохраняется только в том
8 Макс Борн и Хуан Кунь
114
Глава 2. Колебания решетки
приближении, в котором пренебрегают членами третьего и более высоких порядков в выражении потенциальной энергии [линейность уравнения решетки (7.1)]. В действительности каждое механическое нормальное колебание связано с другими через члены высших порядков, и потому здесь имеется малая утечка энергии механических колебаний. В оптических волнах вблизи ш0 плотность механической энергии настолько велика по отношению к потоку лучистой энергии, что уже малая потеря энергии механическими колебаниями поглощает весьма большую часть этого потока энергии, результатом чего является сильное затухание волн. Экспериментальная сторона этого явления будет обсуждена в § 10.
Перейдем теперь к выводу выражения для плотности энергии. Проделаем этот вывод для более общего случая, когда имеются свободные заряды ; результат можно будет затем использовать для построения гамильтониана зарядов, движущихся в решетке. Обозначим заряды через е, (i = 1,2,..., п), а их радиус-векторы — через х,. При наличии зарядов электромагнитные уравнения (7.9), (8.1)—(8.3) принимают вид
div (Е + 4 я Р) = 4 я У — х,), (8.24)
i
div Н = 0, (8.25)
rot Е = — у Н , (8.26)
rot Н = - (Ё + 4 я Р + 4 я v е, х, <5 (х - х,)), (8.27)
с i
где б(х—х,) — трехмерная дельта-функция Дирака. Уравнение
(8.24) эквивалентно уравнению (7.20); дельта-функция дает плотность заряда, отвечающую сконцентрированному в одной точке единичному заряду. Аналогично выражение et х,- б (х — х() в (8.27) эквивалентно более обычному выражению р v.
Используя (8.26) и (8.27), мы можем записать
