Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве простого примера можно без труда оценить с помощью уравнения (7.25) энергию, отдаваемую заряженной частицей решетке, если приближенно рассматривать частицу, как движущуюся с постоянной скоростью1).
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запаздывания на колебания решетки [40, 33]
Электростатический метод, примененный в предыдущем параграфе, эквивалентен описанию электрического взаимодействия между ионами с помощью кулоновских сил. Поскольку в действительности силы между ионами не действуют мгновенно, а распространяются с конечной скоростью света, то этот метод является лишь приближенным. При строгом рассмотрении следует отменить наложенное на Е условие отсутствия вихрей и ввести наряду с (7.9) остальные уравнения Максвелла :
div Н = 0,
. rot Е = - - Н ,
С
(8.1)
(8.2)
rot Н = у(Е + 4лР).
(8.3)
*) Ср. работу [38], где использовано менее точное уравнение, чем (7.25); см., однако, [39].
108 Глава 2. Колебания решетки
Применяя эти уравнения теории электромагнетизма, мы не только учитываем запаздывание сил взаимодействия. Рассмотрим случай, когда движение решетки полностью «зажато» посредством удержания ионов в фиксированной конфигурации w = 0. В этом случае уравнение движения ионов (7.1) отпадает, а уравнение (7.2) сводится к виду
р = Й22е^ Е> (8.4)
что можно записать иначе :
D = Е + 4яР = ем Е . (8.5)
Это соотношение показывает, что решетка функционирует присто как нормальная преломляющая среда с показателем преломления,
отвечающим еоо. Поэтому в рассматриваемом случае уравнения решетки в совокупности с уравнениями электромагнетизма описывают поперечные световые волны с постоянной фазовой скоростью с/Уеоо- Нафиг. 19эти световые волны и колебания решетки, рассмотренные в предыдущем параграфе, представлены пунктирной линией на одном и том же графике (ш, к). Обе эти группы решений представляют собой некоторые приближенные решения совместной системы уравнений (7.1), (7.2) (уравнения решетки) и (7.9), Фиг. 19. Оптические волны и колебания (8.1)—(8.3)(электромагнитные решетки. уравнения). В одном случае
(по™*.)" ^спер™1., ^Тптич^киеТолнТбез ПО СущеСТВу СЧИТЗеМ ИОНЫ дисперсии ; с —прод. колебание решетки (обычное беСКОНеЧНО ТЯЖеЛЫМИ И ПО-приближение) ; d — попер, колебание решетки
(обычное приближение); е — оптические волны ЛуЧЙбМ При ЭТОМ ВОЛНЫ ИЗЛу-(попер.); / истинные колебания решетки. чеШ!Я (све'ГОВЫС ВОЛНЫ) без
движения решетки. В другом случае мы пренебрегаем эффектом запаздывания и получаем рассмотренные в предыдущем параграфе колебания решетки, не содержащие энергии излучения. Эти две группы диаметрально противоположных решений в,месте взятые как бы раскрывают основу всей картины, описываемой этими шестью уравнениями.
В строгом рассмотрении вышеприведенные приближенные решения взаимно переплетаются. Как мы увидим, поперечные колебания
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запазд. на колебания решетки 109
решетки (без учета запаздывания) смешиваются с радиационными (световыми) волнами, и вместе образуют наблюдаемые оптические волны (инфракрасная дисперсия). Из числа последних волны с частотами, непосредственно примыкающими снизу к дисперсионной частоте w0, фактически представляют собой главным образом механические колебания решетки, и лишь небольшая доля их энергии является радиационной. Если пренебречь небольшой примесью радиационной энергии, то эти волны сводятся к поперечным колебаниям решетки, рассмотренным в предыдущем параграфе. Эти нормальные колебания играют, таким образом, двойственную роль, будучи как оптическими волнами, так и колебаниями решетки ; для рассмотрения этих колебаний электростатическое приближение является достаточным. Они являются, как мы покажем, в основном поперечными колебаниями с фазовыми скоростями, малыми по сравнению с с/1'е^. Для тех поперечных колебаний решетки, относительно которых в § 7 было выяснено, что они имеют фазовые скорости большие, чем с (т. е. длину > 10~2 см), электростатический метод непригоден. Действительно, примесь радиационной энергии у этих колебаний настолько велика, что их едва ли можно рассматривать, как колебания решетки.
Мы увидим также, что в строгой теории получаются те же самые продольные колебания, что и в предыдущем параграфе. Иными словами, запаздывание кулоновской силы не оказывает влияния на продольные колебания решетки.
Перейдем теперь к рассмотрению математической стороны вопроса. Если искать решение системы уравнений (7.1), (7.2), (7.9),
(8.1)—(8.3) в очевидной форме
w = w0
Н = Н0
и подставить это решение в указанную систему, то она сведется к следующей :
- со2 W --- ЬцУ/ + Ь12Е, (8.6)
Р Ьг1 w + b22 Е, (8.7)
к(Е + 4 я Р) - 0, (8.8)
кН = о, (8.9)
