Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1) критические точки первого рода:
Vp?'c(p) = vc(p) = 0, Vp?,„(p) = vJ,(p) = 0; (8.6а)
2) критические точки второго рода:
VPEC (р) = VpEv (р) Ф 0. (8.66)
Как правило, условия (8.6а) выполняются только в силу тех или иных соотношений симметрии в зоне Бриллюэна. Так, например, в гл. IV было указано, что энергия электрона есть четная
функция квазиимпульса и, следовательно, градиенты УрЕс (р) и (р) суть функции нечетные. Отсюда явствует, что если в центре зоны Бриллюэна энергетические зоны не вырождены, то там
606
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
расположена критическая точка. В произвольных точках зоны Бриллюэна критические точки первого рода могут возникнуть только случайно. С другой стороны, равенства (8.66) в принципе могут удовлетворяться при любых значениях р (при каких именно — зависит от явного вида законов дисперсии Ес (р) и Ev (р)). По этой причине критические точки второго рода встречаются гораздо чаще, нежели первого.
Согласно формуле (V.7.8) и аналогичной ей формуле для Nv (Е) в критических точках первого рода особенности имеет не только комбинированная плотность состояний, но и отдельно плотности состояний в валентной зоне и в зоне проводимости. В критических точках второго рода сингулярной оказывается только комбинированная плотность состояний.
Критические точки первого рода представляют особый интерес для исследования структуры зон. Действительно, вблизи них плотности состояний Nc (Е) и Nv (Е) изменяются наиболее быстро; с другой стороны, в пространстве между ними функции Nc (Е) и Nv (Е) — гладкие, и их можно аппроксимировать путем интерполяции от одной критической точки до другой. Таким путем, определив из опыта положений крйтических точек первого рода, можно восстановить вид плотностей состояний — тем точнее, чем больше критических точек известно. Точно так же, определив положения ряда критических точек обоих типов, можно восстановить вид комбинированной плотности состояний. Отсюда явствует, что в качестве р0 в (7.3) надо выбирать именно критические точки.
Как видно из равенств (8.6а), критические точки первого рода отвечают потолку и дну зоны, а также седловым точкам функций Ес (р) и Ev (р). С одной из таких точек мы уже имели дело в предыдущем параграфе, рассматривая междузонные оптические переходы вблизи порога поглощения. Как видно из формулы (7.12), функция ркомб (со) действительно имеет особенность при Йсо = Eg: производная
Критические точки второго рода отвечают экстремумам и седловым точкам только разности Е (р) = Ес (р) — Е„ (р). Можно доказать, что периодическая функция Е (р) всегда имеет такие точки.
Исследуем поведение комбинированной плотности состояний в окрестности критической точки (безразлично, первого или второго рода). Удобно совместить с ней начало координат в р-пространстве (в противном случае величины р в следующих ниже формулах надо было бы заменить на р — р0). В силу (8.4) функцию Е вблизи данной критической точки можно представить в виде
'g
СО.
(8.7)
(8.8)
8]
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
607
Здесь многоточие обозначает члены высшего порядка малости, а величины суть компоненты тензора обратной эффективной массы в точке р = 0. Направим оси координат в р-пространстве вдоль главных осей тензора т^'р, обозначив, как всегда, через тй1 главные значения этого тензора. Тогда вместо (8.8) мы получим
?(р)=?(0)+ J
2 та
(8.8')
а~х, у, z
Эффективные массы та могут иметь разные знаки. В зависимости от их сочетания здесь имеются четыре случая:
1) Особая точка типа М0 (минимум): все три величины та положительны.
2) Особая точка типа Мг (седловая точка): одна из величин tna (для определенности mz) отрицательна, две — положительны.
3) Особая точка типа Мо (седловая точка): две из величин та отрицательны, одна (для определенности тг) — положительна.
4) Особая точка типа М3 (максимум): все три величины та отрицательны.
Для вычисления функции ркомб (со) в условиях (8.8') удобно воспользоваться выражением (7.6). Следует лишь помнить о необходимости ограничить область интегрирования окрестностью критической точки, где только и имеет смысл разложение (8.8'). Произведем в выражении (7.6) замену переменных интегрирования, полагая
¦¦У 2 qa\ma |,/г.
Получим
где
Ра-
Ркомб (^) ‘
2Vs I mxmymz
(2 лй)3
I,
Здесь
\)6(q2 + EKp-fl(xy)dq,
$S(— q2 + EKp-h(xy)dq,
\&(ql + ql-ql + EKp-h(>>)dq,
