Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ограничимся наиболее интересным случаем сравнительно слабого поглощения, когда справедливо условие (1.19'). Тогда мнимой частью k в формуле (5.1) можно пренебречь. Соответственно подынтегральное выражение в (5.1) представляет собой произведение экспоненциальной функции с мнимым аргументом и функции периодической с периодом решетки. Согласно теореме, доказанной в Приложении XIV, интеграл Лхл- может быть отличен от нуля, лишь если выполняется правило отбора
р' = р + йк + /7гйь, (5.2)
где т — целое число или нуль*). Равенство (5.2) на первый взгляд кажется очевидным. Фактически, однако, выражаемый им закон сохранения не вполне тривиален: вектор Ш есть импульс фотона, в то время как р и р' суть квазиимпульсы электрона в начальном и конечном'состояниях.
При не слишком большой разности энергий Ех— Ек величина Ш заметно меньше характерного квазиимпульса электрона в начальном или конечном состояниях. В самом деле, согласно равенству (1.10) и закону сохранения энергии, выражаемому 6-функцией
в формуле (4.13), мы имеем k<~^ -?-(Е\- — Ех). Следовательно,
ttk _ n(Ev-EK)_v(р) ^ 3)
- /~s«/ -
р ср с/п
характерная скорость v (р) определяется этим соотношением. Оптические переходы могут совершать любые электроны, в том числе и обладающие очень малыми квазиимпульсами. Однако число таких электронов невелико, ибо в этой области очень мала плотность состояний (V.2.3). Основную роль играют электроны с конечными
^ ? ____?
значениями р; при этом величина v~—---------- обычно оказыва-
р
ется заметно меньше фазовой скорости света в среде с/п. Пусть, например, Ех— Ех = 1 эВ и п = 4, тогда k ~ 10+й см-1. Пусть, далее, точка с энергией Ех- отстоит от края зоны на 10“2 эВ (при этом плотность состояний уже не слишком мала). Пусть, наконец, справедлив простой параболический закон дисперсии с эффективной
*) В дальнейшем мы будем для краткости опускать последнее слагаемое в правой части (5.2): поскольку векторы р и р' лежат в пределах первой зоны Бриллюэна,' число m определяется однозначно.
ПРЯМЫЕ И НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
593
массой т = 0,1 т0. Тогда р!Тг — 10е см”1, т. е. правая часть (5.3) составляет около 0,1. Эта ситуация оказывается довольно типичной: с точностью до 10 ~ 15% импульсом фотона можно пренебречь. Поэтому правило отбора (5.2) принимает более простой вид:
Р' = Р. (5.2')
Поскольку вектор —р есть не что иное, как квазиимпульс дырки, то равенства (5.2>, (5.2') имеют очень простой смысл: с точностью до малой величины Нк полный квазиимпульс системы «электрон проводимости Н- дырка» не изменяется при рассматриваемом оптическом переходе, оставаясь равным нулю (до поглощения или после испускания фотона этот квазиимпульс, разумеется, равен нулю ввиду отсутствия обоих носителей заряда).
При условии (5.2') правая часть равенства (5.1) принимает вид
j {и*1> • Vupl + ~ рU*pi> ttp}j dr.
Интеграл от второго слагаемого в скобках равен нулю: в силу
(III.4.3) при V Ф I функции Upi> и upi взаимно ортогональны. Таким образом, в рассматриваемом случае
Ju' = ^ u*pi> ¦ Vupi dr = ~ рп (р), (5.1')
где
Рп (р) = — tft J u%v ¦ Vupi dr (5.4)
есть матричный элемент оператора импульса в системе функций upt>, иР1, вычисленный в точке р зоны Бриллюэна. При этом, пользуясь периодичностью указанных функций, область интегрирования в (5.4) можно ограничить пределами одной элементарной ячейки (нормируя функции Upf, иР1 в той же области).
Итак, в идеальной решетке междузонные оптические переходы происходят практически в одной и той же точке зоны Бриллюэна. Такие переходы называются прямыми или вертикальными. Смысл этого названия становится ясным из рис. 18.4, а, где изображены (схематически) законы дисперсии для электронов проводимости и дырок в полупроводнике типа германия. Видно, что равенство (5,2') исключает здесь возможность поглощения фотонов с энергией, близкой к ширине запрещенной зоны. Такое поглощение, однако, становится возможным, если принять во внимание неидеаль-ность решетки. При этом, благодаря взаимодействию носителей заряда с рассеивателями, закон сохранения квазиимпульса в форме
(5.2) или (5.2') уже не имеет места: часть квазиимпульса поставляется атомами примеси или фононами, испускаемыми при оптическом переходе. Переходы такого типа называются непрямыми или невертикальными. В материалах типа германия именно они ответственны за поглощение волн с частотой, близкой к граничной.
594
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
Будучи связаны с необходимостью взаимодействия электронов не только со светом, но и с рассеивателями, непрямые переходы менее вероятны, нежели прямые (если последние разрешены). Поэтому для них характерно заметно меньшее значение коэффициента поглощения, что и видно на рис. 18.3: область 0,7 эВ < йсо <С 0,8 эВ отвечает там непрямым переходам, а область йсо 0,8 эВ — прямым.
