Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
d = Ze[Q(r, 1) — Q (г, 2)], (3.15)
где индексы 1, 2 нумеруют атомы ячейки, а радиус-вектор г считается непрерывным (мы рассматриваем случай длинных волн). Для вектора смещения Q надо подставить выражение (XII.5.19), Мы получаем
d = Ze 2 2 [ 2MGd) (q, s) ] s) — ?2(4. s)lx
s > 4 q
x{b(q, s)e'‘qr + 6* (q, s)e-!‘4r}. (3.16) Уравнение (3.13) принимает вид
^=^22 [жгйгдр к*> - <«¦>] х
S>4 q
X {b (q, s) e;v + b* (q, s) е~1*г}.
Нас интересует частное решение этого уравнения, обращающееся в нуль вместе с параметром Z. Представляя <р в виде разложения Фурье:
Ф (г) = 2 1сРче‘чг +
q
легко находим
Ф (r) = v7~ 2 2^ [ 2MGcd (q, s) ] t(q- Si) - (q. ?2)] x
s^=4 q
X{6(q, s)ec*T — b* (q, s)e-‘<ir}. (3.17)
Видно, что поперечные фононы не дают вклада в правую часть (3.17): для них (q, ?i) = (q, У = 0.
Поскольку в сумме nos в правой части (3.17) остается один член, мы можем вообще опустить индекс s в аргументах функций со, glt §2, понимая под ними только величины, относящиеся к продольным оптическим фонолам. То же справедливо и для операторов b, b *.
Задача об определении энергии взаимодействия электрона с длинноволновыми поляризационными фононами свелась теперь к вычислению разности при малых значениях волнового
вектора q. Для этой цели воспользуемся соотношениями (XII.2.19) и (XII.3.7). При г = 2 и q = 0 они принимают вид
Мхй (0) + М& (0) - М, + Мг, М& (0) + М?2 (0) = 0.
ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ
461
Отсюда находим
(3.18)
где .?— единичный вектор, определяющий направление смещения первого атома при колебаниях данной ветви. Видно, что атомы действительно смещаются в противоположных направлениях. Согласно (3.18)
Интересуясь только длинными волнами, мы можем прямо подставить это выражение в формулу (3.17) — учет зависимости от q дает относительно малые поправки. Подставляя, далее, <р (г) в формулу (3.14), находим окончательно
Здесь принято во внимание, что для продольных фононов (?, q) = = q.
Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в гетеро-полярных кристаллах может быть обусловлено не только.переменной поляризацией среды, но и потенциалом деформации. Формулы
(3.1), (3.5), (3.10) при этом остаются в силе, ибо при выводе их мы не делали явных предположений о природе кристалла. Однако при не слишком малом эффективном заряде Z «поляризационное» взаимодействие (3.20) оказывается более эффективным, чем «деформационное»: силы, ответственные за возникновение энергии взаимодействия (3.20), дальнодействующие, в результате чего на электрон одновременно оказывают влияние изменения дипольного момента во многих элементарных ячейках.
д. Взаимодействие носителей заряда с пьезоэлектрическими колебаниями решетки. В ряде кристаллов механическая деформация сопровождается их электрической поляризацией и возникновением электрического поля. Такие кристаллы называются пьезоэлектрическими. Пьезоэлектрический эффект объясняется тем, что при механической деформации кристалла, решетка которого содержит разноименно заряженные ионы, отдельные подрешетки из ионов одного и того же знака могут смещаться друг относительно друга,г отчего и возникает электрический момент. К числу пьезоэлектриков относятся некоторые кристаллы соединений AnBVI (например, ,CdS, CdSe), AIHBV (GaAs, InSb) и многие другие. Необходимое (но не достаточное) условие существования этого эффекта состоит в отсутствии у данной решетки центра симметрии*). При колебаниях
*) Перечень кристаллических классов, в которых возможен пьезоэлектрический эффект, можно найти в руководствах по кристаллофизике [3, М4].
(3.19)
, 4л ie2Z ~~ Ко
462
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
решетки в пьезоэлектрических кристаллах на носители заряда действуют силы со стороны пьезоэлектрического поля, что приводит к дополнительному (к ранее рассмотренным) механизму рассеяния.
Для количественного описания пьезоэлектрического эффекта мы будем пользоваться двумя основными соотношениями.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда эффект определяется только одной компонентой тензора деформации и. Направления электростатической индукции Я) и электрического поля S будем считать совпадающими, При малых деформациях возникающий электрический момент можно считать пропорциональным и. Полагая его равным —Р«, получаем первое основное соотношение:
Здесь р — пьезоэлектрический модуль данного кристалла,
Второе основное соотношение описывает так называемый обратный пьезоэлектрический эффект. Он заключается в том, что в свободном (незакрепленном) пьезоэлектрическом кристалле в электрическом поле появляется дополнительная деформация, пропорциональная первой степени поля. В случае же несвободного кристалла в нем возникают дополнительные механические напряжения. В рассматриваемом простейшем случае механическое напряжение s выражается формулой
