Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
ограниченного цилиндрами радиусов г' и г", равна
& = 2n\^ + ^±^)Prdr.
Г'
При адиабатическом движении плотность внутренней энергии газа е = р/(у -
1) р. Изменение энергии частиц газа, находящихся в данный момент времени
между цилиндрическими поверхностями г' = const, г" - co4St, равно работе
сил давления на этих поверхностях, поэтому
-§- = -2a(pVr"-p'vY), (2.8)
где v означает радиальную составляющую скорости частиц газа. Тождество
(2.5) при F = р/(у - 1) + Р (v2 + и>2)/2 после подстановки формул (1.10)
и (2.8) и сокращения на общий множитель дает
г
((1 _ *) 8 - <" + 2)) $ + Л ) Х-* i\ =
= _Я.-"д[4.7+(Г_8)(1!+2;+7_^.)]и;. (2.9)
Отсюда при (1 - к) 6 - (s -f 2) = 0 (или х = 2б/у) получаем интеграл
системы (2.1)-(2.2):
Я = R (? V + (V - б) ))*= const (2.10)
Условие существования интеграла (2.10) (1 - к) 6 - (s + 2) = 0 означает -
так же, как и в [7], что из констант автомодельного
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
241
решения а и Ъ можно образовать константу с размерностью энергии,
рассчитанной на единицу длины, а именно [аЪ1'4) = МЬТ~2.
IV. Интегралы масс и адиабатичности. Эти интегралы существуют при всех
значениях параметров задачи, и их вывод совершенно аналогичен выводу,
проведенному в книге [7]. Пусть М (г, t) - масса газа (на единицу высоты)
внутри цилиндрической поверхности радиуса г. В автомодельном решении
имеем
= ""(*-)•
Интеграл масс имеет вид [7]
(s + Ь (к+ l))m - 2nR (V - Ь) = const к1**. (2.11)
Интеграл адиабатичности имеет вид [7]
фа = pr-v+x | у - б |х - const к\ (2.12)
г__ 2 (У - 1) s + д (к + 1 - У {к Н~ 3)) ____2 ys fc + 1
s + 6 (к + 1) ' У - s + 6 (к + 1) *
Используя уравнение (2.3), нетрудно проверить, что система
(2.1) (С/ = 0) имеет монотонную функцию
ф8 z | v - б |Y-1Q2(1-v6)/(26-1) = const-А,2^),(26-1). (2.13)
Система (2.1) - (2.2) имеет первый интеграл
Ф4 = RH | V - б |(V-iH"Q-2-aSj a = .^(V-Д . (V. 14)
Интеграл Ф4 при у ф2 позволяет выразить переменную R через переменные z,
F, ?2. При у = 2 монотонная функция Ф3 является первым интегралом и
совпадает с интегралом Ф4. Этот интеграл при y~2 позволяет понизить
порядок системы (2.1) (U = 0) на единицу, т. е. преобразовать эту систему
на плоскость.
Система (2.1) - (2.3) при U = 0 имеет монотонную функцию
ф6 = Ж)Р(7 - 8) = consU*+i-*P, р = 26-1 • (2Л5)
Частным случаем этой монотонной функции при я = (26 + 1)/?" Р - 1
является "интеграл момента количества движения" Фх (2.7).
V. Интегралы полной системы автомодельных уравнений. Система четырех
уравнений (2.1) имеет монотонную функцию
Ф<5 ------- О
и
1 -и
Используя уравнение (2.3), нетрудно проверить, что система
(2.1) имеет также первый интеграл
ф7 = z| V - 6|v-*?}-v?/y-2| i _ и |3"2v. (2.17)
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
Система уравнений (2.1)-(2.2) имеет первый интеграл ф8 = R (V - 6)
Q<*+D/"tf*| 1 - U\y,
X = _ s _ (к + 1)/2, у = S + (к - 1)/2. (2л8)
Интеграл Ф8 позволяет выразить плотность R через переменные
У, Q, U. Интеграл Ф7 позволяет понизить на единицу порядок системы
(2.1). При у = 2 этот интеграл определен на инвариантном многообразии U -
0, где совпадает с интегралом (2.13). При у = 3/2 интеграл Ф7 определен
на инвариантном многообразии U s= 1 и поэтому позволяет преобразовать
систему (2.1) при U *=1,y - 3/2 на плоскость.
§ 3. Точные автомодельные решения степенного вида
Представим автомодельные решения (1.10) в виде степеней г и ? с
неопределенными показателями и числовыми множителями. После подстановки
этих выражений в уравнения (1.6)-(1.8) и разрешения полученных
алгебраических уравнений получим все автомодельные решения степенного
вида. В некоторых из этих точных решений газ не вращается. Это шесть
решений, отвечающих особым точкам Ze, Z\, Z?, Z7, Z\, Z\ (2.4) и четыре
решения, существующие при специальных значениях параметра х и отвечающие
следующим простым траекториям системы (2.1):
х = 0: F = 0, Q = 0, *7 = 0, z = Сг№*;
х = 1:У = 0, а = 0, U = 1, z = 6\^v-3)/6;
% - 2: V = I, 0 = 0, U = 0, z = Ci^i-v)/(i-6);
X = 3: V = 1, а = О, и = 1, 2 = С{кsd-vj'd-fi).
При 7 = 2 и 7 = 3/2 имеются решения степенного вида, в которых угловая
скорость вращения газа не зависит от координат г. Эти решения
соответствуют двум следующим линиям особых точек (Q0 - параметр):
v = 2: V=-L, ?1 = 0., U = 0,
(3.2)
(3.3)
Обозначим при 7 =2 cti - 4 f u± -0, при 7 = a2 = 3 ^ "
w2 - 1. Решения, соответствующие особым точкам (3.2) и (3.3),
§ 3] ТОЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СТЕПЕННОГО ВИДА 243
при а* > 0 определяются следующим формулами:
1 г г\ г Ч
V ="2-р, W = Ll0 - , u=ui-j-,
¦р=?I (nt + -*-) ab-a'aira4-6arv\ (3.4)
p = 6'iab'a-"T"i-2r6"i-7/-+2, a = (tx - я - 2)/6.
В решении (3.4) при v = 2 (* = 1) частицы газа движутся по
логарифмическим спиралям ср = С0 In г + С2, - Съ и выходят
из оси вращения г = 0 при t = 0. В решении (3.4) при у - 3/2 (г t= 2)
движение частиц газа происходит по логарифмическим спиралям, лежащим на
параболоидах ъг - Сг2; при t = 0 частицы газа выходят из центра г = zx =
